105 5.4 Sinussatz und Cosinussatz 5.46 Von einem Dreieck kennt man a = 12, b = 9 und c = 4. Fertige eine maßstabsgetreue Zeichnung an und berechne α, β und γ! (SSS-Fall) LÖSUNG Berechnung von α (mit dem Cosinussatz): a 2 = b 2 + c 2 – 2 b c · cos α cos α = b 2 + c 2 – a 2 __ 2 b c = 9 2 + 4 2 – 12 2 __ 2 · 9 · 4 α ≈ 130,75° Berechnung von β: β kann mit dem Cosinussatz oder mit dem Sinussatz berechnet werden. Mit dem Cosinussatz: b2 = c 2 + a 2 – 2 c a · cos β w cos β = c 2 + a 2 – b 2 __ 2 c a = 4 2 + 12 2 – 9 2 __ 2 · 4 · 12 β ≈ 34,62° Mit dem Sinussatz: sin β _ b = sin α _ a w sin β = b · sin α __ a = 9 · sin α __ 12 β 1≈ 34,62°, β 2 = 180° – β 1 ≈ 145,38° An der maßstabsgetreuen Zeichnung erkennt man, dass β spitz ist. Also kommt nur die erste Lösung in Frage: β ≈ 34,62° Berechnung von γ: γ = 180° – (α + β) ≈ 14,63° Der Cosinussatz ist im SWS-Fall und im SSS-Fall anwendbar. 5.47 Zeige, dass der pythagoräische Lehrsatz ein Spezialfall des Cosinussatzes ist! LÖSUNG I st beispielsweise γ der rechte Winkel in einem Dreieck, so lautet die dritte Gleichung des Cosinussatzes: c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b · cos 90° É c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b · 0 É c 2 = a 2 + b 2 5.48 Berechne die restlichen Seitenlängen und Winkelmaße des gegebenen Dreiecks! a) a = 3, b = 5, γ = 55° c) b = 5,2, c = 6,9, α = 105° e) a = 118, b = 112, c = 60 b) a = 4,3, c = 6,5, β = 30° d) a = 5,8, b = 7,2, c = 11,4 f) a = 21,0, b = 12,6, c = 16,8 5.49 Rechne mit dem Cosinussatz nach, dass die Winkel im gleichseitigen Dreieck 60° betragen! 5.50 Berechne die restlichen Seitenlängen und Winkelmaße des folgenden Vierecks! a) a=5,b=5,5,c=6,d=4, α = 85° d) a = 7,6 , b = 3,3 , d = 4,2 , α = 48°, β = 103° b) a = 57, b = 68, c = 44, d = 37, β = 57 ° e) a = 69, b = 44, α = 61°, β = 117°, γ = 99° c) a = 23, b = 46, c = 32, d = 63, γ = 122,6° f) b = 7,3 , c = 4,9 , β = 58°, γ = 126°, δ = 101° 5.51 Ein Quader ABCDEFGH hat die Kantenlängen a = ‾AB= 7cm, b = ‾BC= 10cm, c = ‾AE= 4 cm. Wie groß ist der Winkel, den die Flächendiagonalen BE und BG miteinander einschließen? 5.52 Auf einem waagrechten Boden wirft ein Stab von 1,35 m Länge, der gegen den Boden geneigt ist, einen Schatten von 2,55 m Länge. Der Winkel zwischen Stab und Boden beträgt 75°. Unter welchem Winkel α fallen die Sonnenstrahlen auf den Boden? α b a β γ c AUFGABEN L 75° 2,55 m 1,35 m α Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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