117 6.1 Reelle Funktionen und deren Graphen Steigen und Fallen, Maximum und Minimum, Nullstellen R Häufige Fragen in Zusammenhang mit einer reellen Funktion sind: • In welchen Intervallen steigen bzw. fallen die Funktionswerte? • An welchen Stellen nimmt die Funktion einen größten bzw. kleinsten Wert an? • An welchen Stellen nimmt die Funktion den Wert 0 an? • Steigen der Funktion f bedeutet: Mit zunehmendem x nimmt f(x) zu. • Fallen der Funktion f bedeutet: Mit zunehmendem x nimmt f(x) ab. Definition (1) Eine Stelle x * D f , an der f den größten Wert annimmt, heißt Maximumstelle von f. (2) Eine Stelle x * D f , an der f den kleinsten Wert annimmt, heißt Minimumstelle von f. Definition Eine Stelle x * D f mit f (x) = 0 heißt Nullstelle von f. 6.19 Die Abbildung zeigt einen Temperaturverlauf an einem Wintervormittag von 6 Uhr bis 12 Uhr. Die Funktion T ordnet jeder Uhrzeit t die Temperatur T (t) zu. a) In welchen Zeitintervallen steigt bzw. fällt die Temperatur? b) Zu welchen Uhrzeiten ist die Temperatur am höchsten bzw. am niedrigsten? c) Wie viele Maximum- und Minimumstellen besitzt die Funktion T? d) In welchen Zeitintervallen ist die Temperatur positiv, in welchen negativ? e) Gib die Nullstelle der Funktion T an! Interpretiere sie! LÖSUNG a) In den Zeitintervallen [6; 7] und [10; 11] steigt die Temperatur, in den Zeitintervallen [7; 10] und [11; 12] fällt sie. b) Um 7 Uhr ist die Temperatur am höchsten, um 10 Uhr und um 12 Uhr am niedrigsten. c) Die Funktion T besitzt eine Maximumstelle (nämlich 7) und zwei Minimumstellen (nämlich 10 und 12). d) Im Zeitintervall [6; 9) ist die Temperatur positiv, im Zeitintervall (9; 12] negativ. e) Die Nullstelle von T ist 9. Zu diesem Zeitpunkt beträgt die Temperatur 0 °C. 6.20 Nebenstehend ist der Graph der Funktion f: [– 3; 1] ¥ ℝ † x ¦ x 2 + 2 x gezeichnet. a) In welchem Intervall steigt f, in welchem fällt f? b) Gib die Maximum- und Minimumstellen von f an! c) Gib die Nullstellen von f an! Uhrzeit t Temperatur T(t) (in °C) 6 7 8 9101112 1 2 –1 0 T Ó Lernapplet 2f4z2p AUFGABEN R x f(x) 1 –3 –2 –1 1 2 3 –1 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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