161 8.1 Quadratische Funktionen 8.01 Lege eine Tabelle für einige Werte der Funktion f an und zeichne den Graphen von f! Gib die Nullstellen von f und eine Gleichung der Symmetrieachse der zugehörigen Parabel an! a) f (x) = x2 –2x–3fürx * [– 2; 4] b) f(x) = –x2 + 4 für x * [– 3; 3] LÖSUNG a) x – 2 – 1 0 1 2 3 4 f (x) 5 0 – 3 – 4 – 3 0 5 1 2 3 4 5 f(x) x 1 2 3 4 – 0 – 1 – 2 – 3 4 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 f s nach oben offene Parabel Nullstellen: –1 und 3 Symmetrieachse: x = 1 b) x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 f (x) – 5 0 3 4 3 0 – 5 1 2 3 5 1 2 3 4 – 0 – 1 – 2 – 3 4 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 f(x) x 4 f s nach unten offene Parabel Nullstellen: –2und2 Symmetrieachse: x = 0 Satz (1) D er Graph einer Funktion f mit f (x) = a x2 +bx+c ist eine Parabel mit dem Scheitel S = (– b _ 2 a | f(– b _ 2 a )). Für a > 0 ist die Parabel nach oben offen, für a < 0 ist die Parabel nach unten offen. (2) D er Graph einer Funktion f mit f (x) = x2 +px+q ist eine nach oben offene Parabel mit dem Scheitel S = (– p _ 2 | f(– p _ 2 )). Ein Beweis für (1) findet sich im Anhang auf Seite 284. Die Behauptung (2) folgt aus (1) für a = 1, b = p und c = q. Merkhilfe für die 1. Koordinate des Scheitels S Man erhält die 1. Koordinate von S, indem man in der großen bzw. kleinen Lösungsformel für quadratische Gleichungen den Wurzelausdruck jeweils weglässt. Man braucht sich nur die erste Koordinate des Scheitels zu merken, die zweite Koordinate erhält man durch Einsetzen der ersten Koordinate in die Funktionsgleichung. BEISPIEL Für die auf der vorigen Seite abgebildete Funktion f mit f (x) = x 2 –4x+3istp=–4und q = 3. Der Graph von f ist eine nach oben offene Parabel mit dem Scheitel: S = (– p _ 2 | f (– p _ 2 )) = (2 1 f (2)) = (2 1 – 1) Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung des Scheitels Anhand der nebenstehenden Abbildung erkennt man: Hat eine quadratische Funktion zwei Nullstelle x 1 und x2, dann ist die 1. Koordinate des Scheitels S der Mittelwert der beiden Nullstellen: S = ( x 1 + x 2 _ 2 | f ( x 1 + x 2 _ 2 )) S x1 x2 f(x) x f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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