173 8.2 Indirekte Proportionalitätsfunktionen Graphen von indirekten Proportionalitätsfunktionen R 8.32 Die Funktion f ist von der Form f (x) = c _ x (mit c ≠ 0). Skizziere den Graphen von f und gib den Wert des Parameters c an! a) f (x) = 2 _ x , b) f (x) = – 3 _ x LÖSUNG a) f (x) = 2 _ x x f(x) 2 4 f c 2 4 c = 2 –2 –4 –4 –2 O b) f (x) = – 3 _ x x f(x) 2 4 f |c| 2 4 c = –3 –2 –4 –4 –2 O Ausgehend von den in der letzten Aufgabe dargestellten Graphen fassen wir zusammen: Eigenschaften einer indirekten Proportionalitätsfunktion f (x) = c _ x (mit c ≠ 0) • Die größtmögliche Definitionsmenge ist R*, denn f (0) = c _ 0 ist nicht definiert. • Der Graph von f heißt Hyperbel. Wegen f (1) = c geht der Graph stets durch den Punkt (1 1 c). Damit kann c wie in den Abbildungen zu 8.32 anhand der roten Strecken ermittelt werden. Der Graph ist symmetrisch bezüglich des Ursprungs, denn es gilt: f (– x) = c _ – x = – c _ x = – f (x). • Strebt x gegen die Stelle 0, so strebt f (x) gegen + ∞ bzw. –∞, dh. f (x) wird beliebig groß bzw. klein. Man sagt daher: Die Stelle 0 ist eine Polstelle von f. • Strebt x gegen + ∞ bzw. –∞, so strebt f (x) gegen 0, dh. f (x) wird dem Betrag nach beliebig klein. Der Graph von f kommt den beiden Koordinatenachsen beliebig nahe, ohne diese zu erreichen. Man sagt daher: Die Koordinatenachsen sind Asymptoten des Graphen von f. 8.33 Gib die größtmögliche Definitionsmenge D und die zugehörige Wertemenge W der Funktion f an! Skizziere den Graphen von f! a) f (x) = 4 _ x , b) f (x) = – 1 _ x , c) f (x) = 3 _ 4 x , d) f (x) = 1 _ x – 1 8.34 Die abgebildete Funktion f ist von der Form f (x) = c _ x (mit c ≠ 0).Gib eine Funktionsgleichung, die größtmögliche Definitionsmenge D und die zugehörige Wertemenge W von f an! a) b) c) x f(x) 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 0 f x f(x) 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 0 f x f(x) 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 0 f 8.35 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 1 _ x . Ermittle das Intervall, welches die Funktionswerte f (x) durchlaufen, wenn x das Intervall a) [1; 3], b) [– 4; –1] durchläuft! AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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