175 8.3 Proportionalitäten höherer Ordnung Funktionen der Form f(x) = c _ x 2 R 8.40 Die Funktion f ist von der Form f (x) = c _ x 2 (mit c ≠ 0). Skizziere den Graphen von f und gib den Wert des Parameters c an! a) f (x) = 1 _ x 2 , b) f (x) = – 2 _ x 2 LÖSUNG a) f (x) = 1 _ x 2 x f(x) 2 4 f c 2 4 c = 1 –2 –4 –4 –2 O b) f (x) = – 2 _ x 2 x f(x) 2 4 f |c| 2 4 c = –2 –2 –4 –4 –2 O Ausgehend von den in der letzten Aufgabe dargestellten Graphen fassen wir zusammen: Eigenschaften einer Funktion der Form f (x) = c _ x 2 (mit c ≠ 0) • Polstelle: 0 • Der Graph geht durch den Punkt (1 1 c), weil f (1) = cgilt. Damit kann c wie in den Abbildungen zu 8.40 anhand der roten Strecken ermittelt werden. • Der Graph ist symmetrisch zur 2. Achse, denn für alle x * R*gilt: f (– x) = c _ (– x) 2 = c _ x 2 = f (x). • Die Koordinatenachsen sind Asymptoten des Graphen. • Für c > 0liegt der Graph ganz über der 1. Achse, für c < 0ganz unter der 1. Achse. 8.41 Es soll ein Quader mit quadratischer Grundfläche und dem Volumen V = 100 hergestellt werden. Hat die Grundkante die Länge x, so hängt die Höhe h (x) des Quaders von x ab. 1) Gib eine Termdarstellung der Funktion h : x ¦ h (x) an und zeichne deren Graphen! 2) Zeige: Zur 2-fachen Grundkantenlänge gehört der 4-te Teil der Quaderhöhe. Allgemein: Zur k-fachen Grundkantenlänge gehört der k 2-te Teil der Quaderhöhe. 3) Gib an, welche Art von Proportionalität zwischen der Grundkantenlänge und der Quaderhöhe vorliegt! LÖSUNG 1) x 2 · h (x) = 100 w h (x) = 100 _ x 2 mit x > 0. 2) h (2 · x) = 100 _ (2 · x) 2 = 100 _ 4 · x 2 = 1 _ 4 · 100 _ x 2 = 1 _ 4 · h (x) h ( k · x) = 100 _ (k · x) 2 = 100 _ k 2 · x 2 = 1 _ k 2 · 100 _ x 2 = 1 _ k 2 · h (x) 3) D ie Quaderhöhe h (x) ist zur Grundkantenlänge x weder direkt noch indirekt proportional, die Quaderhöhe h (x) ist aber indirekt proportional zum Quadrat der Grundkantenlänge x. h(x) x x x h(x) 2 4 6 8 h 2 4 6 O Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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