191 9.1 Lineare Gleichungen in zwei Variablen Wie wir aufgrund der letzten Aufgabe vermuten, gilt allgemein: Satz Die Lösungsmenge einer Gleichung a·x+b·y=c (mit a, b, c * ℝ; a und b nicht beide 0) besteht aus allen Punkten (x 1 y) einer Geraden. BEWEIS Wir unterscheiden zwei Fälle. 1. Fall: Für b ≠ 0 kann man die gegebene Gleichung so umformen: y = – a _ b · x + c _ b . Daher gilt: L = {(x 1 y) * R 2 | a · x + b · y = c} = {(x 1 y) * R 2 | y = – a _ b · x + c _ b } List der Graph einer linearen Funktion, also eine Gerade. 2. Fall: F ür b = 0 muss nach Voraussetzung a ≠ 0sein. Durch Umformung erhält man: x = c _ a . Daher gilt: L = {(x | y) * ℝ 2 | x = c _ a und y beliebig} . Lstellt die Parallelgerade zur 2. Achse durch den Punkt ( c _ a | 0) dar. (Diese Gerade ist aber nicht der Graph eine Funktion.) Eine Gerade war bisher ein geometrisches Objekt. Der letzte Satz eröffnet aber eine Möglichkeit, den Begriff der Geraden algebraisch (ohne Rückgriff auf die Geometrie) zu definieren: Definition Unter einer Geraden g in ℝ 2 verstehen wir die Punktmenge g = {(x 1 y) * ℝ 2 ‡ a·x + b·y = c ? a und b nicht beide 0}. Die Gleichung a·x+b·y=c bezeichnen wir kurz als Gleichung der Geraden g. Wie wir gesehen haben, kann man eine Gleichung einer Geraden auf zwei Arten angeben: • in impliziter Form: a · x + b · y = c BEISPIEL 2 · x + 3 · y = 4 • in expliziter Form: y = – a _ b ·x+ c _ b (b ≠ 0) BEISPIEL y = – 2 _ 3 ·x+ 4 _ 3 Die explizite Form y = – a _ b · x + c _ b kann stets in eine implizite Form umgewandelt werden. Umgekehrt gibt es zur impliziten Form a · x + b · y = cnur für b ≠ 0die passende explizite Form. 9.02 Gegeben ist eine Gerade g mit der Gleichung a · x + b · y = c, wobei a, b und c positive reelle Zahlen sind. Untersuche, wie sich die Lage der Geraden ändert, wenn c wächst! LÖSUNG 1. Fall: Wir unterscheiden zwei Fälle. Für b ≠ 0 lautet die Gleichung in expliziter Form y = – a _ b · x + c _ b . Es liegt daher eine Gerade mit k = – a _ b < 0und d = c _ b > 0vor. Da a und b konstant sind, bleibt die Steigung k unverändert. Aber d wächst mit wachsendem c. Die Gerade wird also in Richtung der 2. Achse (nach oben) verschoben. y 0 x c b 2. Fall: Für b = 0 lautet die Gleichung x = c _ a . Es liegt damit eine Parallele zur 2. Achse vor. Da a konstant ist, wird mit wachsendem c diese Gerade also in Richtung der 1. Achse (nach rechts) verschoben. y 0 x c a y x 0 c a kompakt S. 200 Ó Lernapplet x797dg Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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