31 1.6 Lineare Gleichungen in einer Variablen 1.6 Lineare Gleichungen in einer Variablen Lösung einer linearen Gleichung 1.104 Für welche reellen Zahlen x gilt 1) 17 · x + 511 = 732, 2) a · x + b = 0 (a, b * R mit a ≠ 0)? LÖSUNG 1) 17 · x + 511 = 732 ! – 511 Probe: 17 · 13 + 511 = 732 17 · x = 221 ! : 17 732 = 732 x = 13 2) a · x + b = 0 ! – b Probe: a · (– b _ a ) + b = 0 a · x = – b ! : a – b + b = 0 x = – b _ a 0 = 0 Definition Eine Gleichung der Form a · x + b = 0 (mit a, b * R und a ≠ 0) bezeichnet man als lineare Gleichung in der Variablen x. Wie man an der Aufgabe 1.104 2) sieht, gilt: Satz Eine lineare Gleichung a · x + b = 0 (mit a, b * R und a ≠ 0) besitzt genau eine Lösung x = – b _ a . Man bezeichnet auch jede Gleichung, die sich durch Umformen auf die Form a · x + b = 0 (mit a, b * R und a ≠ 0) bringen lässt, als lineare Gleichung (wobei eventuell die Definitionsmenge eingeschränkt werden muss). 1.105 Ermittle die Lösung der folgenden linearen Gleichung in R! Ist diese Gleichung auch in N lösbar? a) 5x–20=4(x–4) b) 5x–4=2(3x–6) c) 7(3x+2)–3(5x–1)=x+20 1.106 Löse die Gleichung und mache die Probe! a) 3x(3x – 2) – 87= 8x(x – 2) + (x +1)2 b) (x + 5)(3x –1) = (2x –1)2 –x(x+18)–6 c) (3 x – 7)2 – (10 – 3x)(2x – 5) +11 = 2(2x +1)2 –7(x –1)(9 – x) d) (2x – 3)2 + (4 – 2x)(2 + 3x) = 3 [ – 4 (x + 3) 2 +7x(x + 2)] – 11x 2 + 307 1.107 Löse die Gleichung und mache die Probe! a) 4 x _ 7 –8=0 c) 17 – 2 _ 5 x=30–3x e) 5 x – 3 _ 2 – 9 x – 7 _ 10 = 7 – 2 x _ 5 +3(x–1)– 1 _ 5 b) 3 _ 4 x – 2 x _ 3 = 1 _ 6 d) x _ 3 + x + 2 _ 4 – x _ 12 =x+8 f) 5 (x – 2) __ 6 + 2 (x + 1) __ 9 + 2 = 1 _ 2 (x+4)+ 3 (x – 4) __ 4 1.108 Löse die Gleichung nach der vorkommenden Variablen und mache die Probe! a) 11 _ 10 = 1 __ 2 a + 10 + 3 _ 5 c) 1 _ 10 – x +17=16+ 6 _ 10 – x e) 1 _ u + 1 + 1 _ u + 1 = 3 _ u + 1 – 5 _ 6 b) 1 _ y – 1 – 7 _ 4 = – 13 _ y – 1 d) 7 _ 6 – 1 _ z + 5 = 2 _ z + 5 + 1 _ 6 f) 2 _ n + 3 _ 2n = 5 _ 2 – 14 _ n R AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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