63 3.2 Lösungsformeln für quadratische Gleichungen Insgesamt haben wir durch unsere Überlegungen die folgenden beiden Sätze bewiesen: Satz Eine quadratische Gleichung x 2 +px+q=0 mit p, q * R und der Diskriminante D = ( p _ 2 ) 2 – q hat • genau zwei reelle Zahlen als Lösungen, wenn D > 0, • genau eine reelle Zahl als Lösung, wenn D = 0, • keine reelle Zahl als Lösung, wenn D < 0. Satz („kleine Lösungsformel“) Für eine quadratische Gleichung x 2 +px+q=0 mit der Diskriminante D = ( p _ 2 ) 2 – q º 0 gilt: x 2 +px+q=0 É x = – p _ 2 ± � ______ ( p _ 2 ) 2 – q BEACHTE • Die kleine Lösungsformel ist nur dann anwendbar, wenn die quadratische Gleichung normiert ist, dh. wenn der Koeffizient von x 2 gleich 1 ist. • Dass eine quadratische Gleichung keine Lösung hat, merkt man unter Umständen erst dann, wenn unter der Wurzel eine negative Zahl auftaucht. 3.12 Löse: a) x 2 –4x–5=0 b) x 2 –4x+4=0 c) x 2 +2x+3=0 LÖSUNG Da alle Gleichungen normiert sind, darf man die „kleine Lösungsformel“ verwenden. Man liest p und q aus der quadratischen Gleichung ab und setzt in die Formel ein. a) x 2 –4x–5=0 b) x 2 –4x+4=0 c) x 2 +2x+3=0 [p = –4,q = –5] [p=–4,q=4] [p = 2, q = 3] x = 2 ± � _____ (– 2) 2 + 5 x = 2 ± � _____ (– 2) 2 – 4 x=–1±� _______ 1 2 – 3 x = 2 ± � __ 9 x = 2 ± � __ 0 x=–1±� ___ – 2 x = – 1 = x = 5 x = 2 keine Lösung, da D < 0 L = {–1; 5} L = {2} L = { } 3.13 Löse die folgende Gleichung ohne Technologieeinsatz! a) x2 –6x–7=0 d) x2 –5x+6=0 g) x2 +7x+12=0 j) x2 –10x+24=0 b) x2 +8x+12=0 e) x2 +4x+5=0 h) x2 –3x+3=0 k) x2 –8x–16=0 c) x2 –10x+9=0 f) x2 –6x+9=0 i) x2 +5x–24=0 l) x2 –9x+18=0 3.14 Für welche q * R hat die Gleichung x2 –7x+q=0 a) keine reelle Lösung, b) genau eine reelle Lösung, c) genau zwei reelle Lösungen? 3.15 Für welche p * R hat die Gleichung x2 +px+1=0 a) keine reelle Lösung, b) genau eine reelle Lösung, c) genau zwei reelle Lösungen? 3.16 Für welche a * R hat die gegebene Gleichung genau eine reelle Lösung? a) x2 –2ax–a=0 b) x2 –ax+2a=0 c) x2 +2ax–6a=0 3.17 Löse! a) (x – 3)2 +(x–2)(x+3)=x2 + x – 2 b) (5x – 8)2 – (3x – 2)2 = 15(x – 3)2 kompakt S. 71 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=