75 4.1 Sinus, Cosinus und Tangens Die Formeln in der letzten Aufgabe haben wir durch Betrachtung der Verhältnisse G _ H und A _ H erhalten. Dabei konnten wir feststellen: • Für konstantes α haben diese Verhältnisse jeweils einen konstanten Wert (unabhängig von der gewählten Hypotenusenlänge H). • Ändert sich α, dann ändern auch diese Verhältnisse ihren Wert. Daraus folgt: Die Verhältnisse G _ H und A _ H hängen nur vom Winkelmaß α ab. Dasselbe kann man für das Verhältnis G _ A (Steigung des Schrägaufzugs) zeigen. Die Verhältnisse G _ H , A _ H und G _ A wurden im Prinzip schon im Altertum betrachtet. Später gab man ihnen eigene Namen, nämlich Sinus von α, Cosinus von α und Tangens von α, abgekürzt sin α, cos α und tan α. Definition In einem rechtwinkeligen Dreieck mit dem Winkelmaß α, der Hypotenusenlänge H, der Gegenkathetenlänge G und der Ankathetenlänge A setzt man: sin α = G _ H , cos α = A _ H , tan α = G _ A Aus dieser Definition ergeben sich unmittelbar die folgenden Formeln: G = H · sin α, A = H · cos α Berechnung von Sinus, Cosinus und Tangens mit Technologieeinsatz R In der letzten Aufgabe haben wir die Werte von sin α, cos α und tan α einer Zeichnung entnommen. Man kann diese Werte jedoch auch näherungsweise mit Technologieeinsatz ermitteln. Wir erläutern dies zunächst an der Gleichung sin α = c. • Bei gegebenem α erhält man c durch Eingabe von sin α. • Bei gegebenem c erhält man α (abhängig von der verwendeten Technologie) durch Eingabe von sin– 1 (c), arcsin (c), oder asin (c). Für den Cosinus oder Tangens schreibt man analog cos α, tan α und cos– 1 (c), tan– 1 (c) bzw. arccos (c), arctan (c) oder acos (c), atan (c). Die Bezeichnungen arcsin, arccos und arctan sind Abkürzungen für Arcussinus, Arcuscosinus und Arcustangens. Dabei gilt: • arcsin bzw. sin– 1 macht die Eingabe sin rückgängig. • arccos bzw. cos– 1 macht die Eingabe cos rückgängig • arctan bzw. tan– 1 macht die Eingabe tan rückgängig. BEISPIEL sin (α) = 0,5 É α = sin – 1 (0,5) = arcsin (0,5) = 30° BEMERKUNG Winkel können in verschiedenen Maßen (Grad, Bogenmaß, Neugrad) gemessen werden. Achte also beim Technologieeinsatz darauf, dass das Gradmaß eingestellt ist! A H G α kompakt S. 88 sin α sin (α) sin – 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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