87 4.3 Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens 4.3 Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens Wichtige Zusammenhänge Wir schreiben sin 2 φ statt (sin φ) 2 und cos 2 φ statt (cos φ) 2. Satz Für 0° < φ < 90° gilt: (1) tan φ = sin φ _ cos φ (2) sin 2 φ + cos 2 φ = 1 (3) sin (90° – φ) = cos φ (4) cos (90° – φ) = sin φ BEWEIS Anhand der Abbildung erkennt man: (1) sin φ _ cos φ = G _ H _ A _ H = G _ A = tan φ (2) sin 2 φ + cos 2 φ = ( G _ H ) 2 + ( A _ H ) 2 = G 2 _ H 2 + A 2 _ H 2 = G 2 + A 2 __ H 2 = H 2 _ H 2 = 1 (3) sin (90° – φ) = A _ H = cos φ (4) cos (90° – φ) = G _ H = sin φ Sinus und Cosinus von besonderen Winkeln L Als Grenzfälle kann man sin α und cos α für α = 0° und α = 90° definieren: • Für α = 0° ist G = 0 und A = H. Somit setzt man sin 0° = 0 _ H = 0 und cos0° = H _ H = 1 • Für α = 90° ist G = H und A = 0. Somit setzt man sin 90° = H _ H = 1 und cos 90° = 0 _ H = 0 Die Werte von sin φ und cos φ für φ = 0°, 30°, 45°, 60°, 90° kann man sich leicht mit der nebenstehend abgebildeten „Einhalb mal Wurzel-Regel“ merken. Diese Regel ergibt sich anhand der folgenden Abbildungen: h 30° 45° a a a d a 2 _ h 60° a a 2 _ φ sin φ 0° 1 _ 2 · � __ 0 = 0 90° 30° 1 _ 2 · � _ 1 = 1 _ 2 60° 45° 1 _ 2 · � __ 2 = � __ 2 _ 2 45° 60° 1 _ 2 · � __ 3 = � __ 3 _ 2 30° 90° 1 _ 2 · � __ 4 = 1 0° cos φ φ 4.77 Überprüfe die Formeln des obigen Satzes für a) φ = 30°, b) φ = 45°! 4.78 a) Drücke sin φ durch cos φ aus! c) Drücke tan φ durch sin φ aus! b) Drücke cos φ durch sin φ aus! d) Drücke tan φ durch cos φ aus! 4.79 Welche beiden Gleichungen sind für 0 < φ < 90° richtig? Kreuze an! cos φ · tan φ = sin φ cos φ · (1 – tan φ) = sin φ + cos φ 1 – sin φ _ sin φ = sin φ _ 1 + cos φ cos 2 φ · tan φ = sin φ · cos φ sin φ · tan φ = 1 + cos 2φ _ cos φ R A H G φ 90° – φ AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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