97 5.2 Sinus und Cosinus im Einheitskreis 5.2 Sinus und Cosinus im Einheitskreis Darstellung von Sinus und Cosinus im Einheitskreis Eine einfache Darstellung von Sinus und Cosinus erhält man, wenn man Punkte auf einem Kreis um den Ursprung O mit dem Radius r = 1 betrachtet. Dieser Kreis wird als Einheitskreis bezeichnet. Ist P = (x 1 y) = [1 1 φ ] der Punkt auf dem Einheitskreis mit dem Polarwinkel φ, dann gilt: cos φ = x _ r = x _ 1 = x und sin φ = y _ r = y _ 1 = y Der Punkt P hat also die kartesischen Koordinaten cos φ und sin φ, dh. P = (cos φ 1 sin φ). Merke Für einen Punkt P = [1 1 φ] auf dem Einheitskreis gilt: P = (cos φ 1 sin φ). Aufgrund dieser Überlegung können wir cos φ und sin φ als Stellen auf den Achsen auffassen: (1) (2) (3) (4) 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 φ P sin φ cos φ φ P sin φ cos φ φ P sin φ cos φ φ P sin φ cos φ O O O O Üblich ist auch die Darstellung von sin φ und cos φ durch vorzeichenbehaftete Strecken. Man vereinbart dazu: • Alle Strecken von O nach rechts (links) werden positiv (negativ) gemessen. • Alle Strecken von der ersten Achse nach oben (unten) werden positiv (negativ) gemessen. (1) (2) (3) (4) 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 –1 φ P sin φ cos φ φ P sin φ cos φ φ sin P φ cos φ φ P sin φ cos φ O O O O BEMERKUNG Wir haben sin φ und cos φ ursprünglich als Verhältnisse G _ H bzw. A _ H eingeführt. Dies entspricht den Anwendungen der Trigonometrie, in denen Sinus und Cosinus fast immer als Verhältnisse auftauchen. Verhältnisse lassen sich aber nicht direkt visualisieren, man kann sie in Zeichnungen nur hineindenken. Der Einheitskreis bietet den Vorteil, dass man sin φ und cos φ direkt visualisieren kann, nämlich als Stellen auf den Achsen oder als vorzeichenbehaftete Strecken. Im Einheitskreis kann man sofort den folgenden Satz ablesen: Satz Für alle Winkelmaße φ mit 0° ª φ < 360° gilt: (1) –1 ª sin φ ª 1 (2) –1 ª cos φ ª 1 R Ó Applet x853nc Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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