6 2 3 5 6 7 4 1 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Mathematik verstehen WOSCHITZ | KOTH | SALZGER | ULOVEC QuickMedia App für digitale Zusatzmaterialien Teildruck Die Verkaufsauflage erscheint unter der ISBN 978-3-209-12362-6
Mathematik verstehen 6, Schülerbuch und E-Book Schulbuchnummer 185137 Mathematik verstehen 6, Schülerbuch mit E-BOOK+ Schulbuchnummer 190242 Mathematik verstehen 6, Schülerbuch E-Book Solo Schulbuchnummer 207944 Mathematik verstehen 6, Schülerbuch E-BOOK+ Solo Schulbuchnummer 207945 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung vom 31. August 2023, GZ 2023-0.440.156, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 6. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen – Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2018) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, Sie bekommen dieses Schulbuch von der Republik Österreich für Ihre Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Bildnachweis: U1: Darkdiamond67 / GettyImage; S. 9: tom / Fotolia; S. 13: Sebastian Kaulitzki / Fotolia; S. 25: Sammlung Rauch / Interfoto / picturedesk; S. 29: 3DMAVR / iStockphoto; S. 32.1: Yarygin / iStockphoto; S. 32.2: liveostockimages / Fotolia; S. 40.1: baibaz / Thinkstock; S. 40.2: Smileus / Fotolia; S. 41: akg / North Wind Picture Archives; S. 61: Universal History Archive / Science Photo Library / picturedesk; S. 62: KatarzynaBialasiewicz / Thinkstock; S. 68: VvoeVale / Thinkstock; S. 69.1: Bernd Kröger / Fotolia; S. 69.2: dd / Fotolia; S. 72: tiero / Fotolia; S. 75.1: Thomas Schmid / Fotolia; S. 75.2: imagebroker / mauritius images; S. 75.3: A0200 epa Pa / EPA / picturedesk; S. 78: conejota / Thinkstock; S. 83: Brett Charlton / iStockphotophoto; S. 85: Wavebreak Media / Thinkstock; S. 90: Carso80 / iStockphoto; S. 91: Dr_Microbe / iStockphoto; S. 95: Rufus46 / Wikimedia Commons - CC BY-SA 3.0; S. 123.1: akg-images / picturedesk.com; S. 123.2: D.H.Teuffen / Interfoto / picturedesk; S. 124.1: Wikimedia Commons / Public Domain; S. 124.2: Sammlung Rauch / Interfoto / picturedesk; S. 124.3: ullstein - Bettina(L) / Ullstein Bild / picturedesk; S. 129: Gargolas / iStockphoto; S. 142.1: Carola Schubbel / Fotolia; S. 142.2: Science Photo Library / picturedesk; S. 143.1: dragoncello / Fotolia; S. 143.2: Patrick Hermans / Fotolia; S. 143.3: hsvrs / iStockphotophoto; S. 143.4: Maryna Iaroshenko / Thinkstock; S. 143.5: Swetlana Wall / Fotolia; S. 143.6: Elena Schweitzer / Fotolia; S. 152: Vladimiroquai / Thinkstock; S. 153: Bernd Libbach - stock. adobe.com / Fotolia; S. 159: Michael Möller / Fotolia; S. 167: Anna Chelnokova / iStockphotophoto; S. 183: Mathias Bigge / Wikimedia Commons - CC BY-SA 2.5; S. 201: ajlber / Thinkstock; S. 203: Missing35mm / iStockphoto.com; S. 213.1: Kristian Peetz / Fotolia; S. 213.2: Kristian Peetz / Fotolia; S. 213.3: © Europäische Zentralbank; S. 213.4: © Europäische Zentralbank; S. 236.1: seen / Fotolia; S. 236.2: sulupress / Fotolia; S. 237.1: André Pöhlmann / mauritius images; S. 237.2: MEV-Verlag, Germany; S. 237.3: sunt - stock.adobe.com / Fotolia; S. 238: Science Photo Library / picturedesk.com; S. 242.1: Ryan Ruffatti / iStockphoto.com; S. 242.2: Ryan Ruffatti / iStockphoto.com; S. 243: MEV-Verlag, Germany; S. 244.1: Rene Wechsler / Fotolia; S. 244.2: Maciej Mamro / Fotolia; S. 245: SunnyCeleste / Thinkstock; S. 246.1: Lucky Dragon / Fotolia; S. 246.2: Pia Moest / öbv; S. 246.3: fotodesign-jegg.de / Fotolia; S. 246.4: bkindler / iStockphoto.com; S. 260: by-studio / Fotolia; S. 263: PeJo / Fotolia; S. 268: Casper Wilkens / iStockphoto.com; S. 271: Amanda Rohde / iStockphoto.com; S. 272.1: MEV-Verlag, Germany; S. 272.2: Stefan Richter / Fotolia; S. 275: EvilWata / Thinkstock 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2024 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Mag. Melanie Zimmermann, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung und Layout: normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Druck: Brüder Glöckler GmbH, Wöllersdorf ISBN 978-3-209-12362-6 (Mathematik verstehen OS SB 6 + E-Book) ISBN 978-3-209-12366-4 (Mathematik verstehen OS SB 6 mit E-BOOK+) ISBN 978-3-209-12394-7 (Mathematik verstehen OS SB 6 E-Book Solo) ISBN 978-3-209-12397-5 (Mathematik verstehen OS SB 6 E-BOOK+ Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mathematik verstehen 6 Hochschulprofessorin Mag. Dr. Maria Koth Prof. Mag. Dr. Helge Woschitz Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger MMag. Dr. Andreas Ulovec Unter Mitarbeit von: Univ. Prof. Mag. Dr. Günther Malle Prof. Mag. Sonja Malle Die Online-Ergänzung auf www.oebv.at wurde erstellt von: Mag. Dr. Christian Dorner Doz. Dr. Franz Embacher Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger MMag. Dr. Andreas Ulovec www.oebv.at KOTH | SALZGER | ULOVEC | WOSCHITZ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Arbeiten mit Mathematik verstehen Aufbau Jedes Kapitel beginnt mit einer Aufzählung der Grundkompetenzen, die in diesem Kapitel erworben werden sollen. Im Buch wird zwischen Lehrplan L und schriftlicher Reifeprüfung R unterschieden. Die pinke Linie am linken Seitenrand zeigt genau an, was für die schriftliche Reifeprüfung relevant ist. Jedes Kapitel beinhaltet eine Seite Technologie kompakt. Hier werden die wichtigsten Befehle für GeoGebra Suite und Casio Class Pad II aufgezeigt. Am Ende jedes Kapitels findet man einen Kompetenzcheck, in dem die geforderten Grundkompetenzen durch Aufgaben für Typ 1 und Typ 2 überprüft werden. Ebenfalls werden die kontextreduzierten Typ 2-Aufgaben extra ausgezeichnet. Bei jeder Aufgabennummer werden die zugehörigen Grundkompetenzen jeweils links davon angeführt. Am Ende des Buches gibt es einen Jahrescheck mit Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2, die alle Grundkompetenzen noch einmal abprüfen. Symbole Dieses Symbol kennzeichnet Typ 2-Aufgaben mit einem reduziertem Kontext. Dieses Symbol kennzeichnet Aufgaben oder Stellen, an denen ein Technologieeinsatz möglich bzw. empfehlenswert ist. Dieses Symbol verweist auf die Technologie kompakt-Seiten, auf denen man kurze Anleitungen zum Technologieeinsatz von GeoGebra Suite bzw. Casio Class Pad II vorfindet. Dieses Symbol verweist auf das Zusatzheft Mathematik verstehen Technologietraining GeoGebra Digitales Zusatzmaterial QuickMedia App 1. Scanne den QR-Code (unten) und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein Audio/Video aus der App-Medienliste aus. 4. Spiele das Audio/Video ab. Online Codes Hier gibt es eine Online-Ergänzung. Der Code führt direkt zu den Inhalten. Im Digitalen Zusatzmaterial befinden sich Applets, Lernapplets, Arbeitsblätter, Lesetexte, Fragen zum Grundwissen und TI-Nspire kompakt. www.oebv.at Suchbegriff / ISBN / SBNr. / Online-Code Suchen REDUZIERTER KONTEXT kompakt S. xxx S. xxx Android iOS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 INHALTSVERZEICHNIS 3. und 4. Semester POTENZEN, WURZELN UND LOGARITHMEN 6 1.1 Potenzen mit Exponenten aus N* 6 1.2 Potenzen mit Exponenten aus Z 10 1.3 Wurzeln 14 1.4 Potenzen mit Exponenten aus Q 19 1.5 Potenzen mit Exponenten aus R 21 1.6 Logarithmen 22 TECHNOLOGIE KOMPAKT 27 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 28 UNGLEICHUNGEN 32 2.1 Lineare Ungleichungen 32 2.2 Besondere Ungleichungsarten 37 TECHNOLOGIE KOMPAKT 39 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 40 REELLE FUNKTIONEN 42 3.1 Monotonie und Extremstellen von Funktionen 42 3.2 Potenzfunktionen und Polynomfunktionen 49 3.3 Veränderungen von Funktionsgraphen 54 3.4 Änderungsmaße von Funktionen 56 TECHNOLOGIE KOMPAKT 58 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 59 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTIONEN 62 4.1 Exponentialfunktionen 62 4.2 Eigenschaften von Exponentialfunktionen 66 4.3 Anwendungen von Exponentialfunktionen 68 4.4 Logarithmusfunktionen 81 4.5 Wachstum bei Beschränkung 82 TECHNOLOGIE KOMPAKT 86 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 87 1 2 3 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 WINKELFUNKTIONEN 92 5.1 Das Bogenmaß 92 5.2 Drehbewegungen 94 5.3 Erweiterung von Sinus, Cosinus und Tangens 96 5.4 Die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion 97 5.5 Eigenschaften der Sinus- und Cosinusfunktion 99 5.6 Allgemeine Sinusfunktion 101 5.7 Harmonische Schwingungen in der Physik 103 TECHNOLOGIE KOMPAKT 106 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 107 ERGÄNZUNGEN ZU FUNKTIONEN 110 6.1 Formeln und Funktionen 110 6.2 Verkettung von Funktionen 118 6.3 Umkehrfunktionen 119 6.4 Allgemeiner Funktionsbegriff 122 TECHNOLOGIE KOMPAKT 123 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 124 FOLGEN 128 7.1 Zahlenfolgen 128 7.2 Grenzwerte von Folgen 131 7.3 Arithmetische Folgen 134 7.4 Geometrische Folgen 137 7.5 Rekursive Darstellung von Folgen 140 TECHNOLOGIE KOMPAKT 144 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 145 Semestercheck 148 REIHEN 154 8.1 Endliche Reihen 154 8.2 Unendliche Reihen 156 8.3 Anwendungen von Folgen und Reihen auf Probleme der Finanzmathematik 159 8.4 Stetige Verzinsung 164 TECHNOLOGIE KOMPAKT 165 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 166 VEKTOREN IN R3 168 9.1 Vektoren in R3 168 9.2 Geometrische Darstellung von Vektoren in R3 170 9.3 Einfache Anwendungen der Vektorrechnung in der räumlichen Geometrie 173 9.4 Vektorprodukt und Normalprojektion in R3 177 5 6 7 8 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 9.5 Vektoren mit n Koordinaten 183 TECHNOLOGIE KOMPAKT 185 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 186 GERADEN UND EBENEN IM RAUM 188 10.1 Geraden im Raum 188 10.2 Parameterdarstellung einer Ebene im Raum 191 10.3 Normalvektordarstellung einer Ebene im Raum 193 10.4 Gegenseitige Lagen von Geraden und Ebenen im Raum 196 10.5 Abstand- und Winkelberechnungen im Raum 199 10.6 Lagen von drei Ebenen; lineare Gleichungssysteme in drei Variablen 202 TECHNOLOGIE KOMPAKT 205 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 206 BESCHREIBENDE STATISTIK 208 11.1 Darstellung von Daten 208 11.2 Zentralmaße 215 11.3 Streuungsmaße 220 11.4 Quartile und Perzentile 224 11.5 Weitere Arten von Mittelwerten 228 11.6 Vergleich von Merkmalen 230 TECHNOLOGIE KOMPAKT 232 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 233 WAHRSCHEINLICHKEITEN 236 12.1 Zufallsversuche 236 12.2 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten 239 12.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und unabhängige Ereignisse 249 TECHNOLOGIE KOMPAKT 253 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 254 RECHNEN MIT WAHRSCHEINLICHKEITEN 256 13.1 Multiplikationsregel für Versuchsausgänge 256 13.2 Additionsregel für Versuchsausgänge 262 13.3 Additions - und Multiplikationsregel für Ereignisse 266 TECHNOLOGIE KOMPAKT 273 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 274 Semestercheck 276 Anhang: Beweise 282 Stichwortverzeichnis 286 Griechisches Alphabet 288 10 11 12 13 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 GRUNDKOMPETENZEN Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können. AG-R 2.1 POTENZEN, WURZELN UND LOGARITHMEN 1.1 Potenzen mit Exponenten aus N* Definition von Potenzen mit Exponenten aus N* R 1.01 Stelle die Terme 10 · 10, 10 · 10 · 10 und 10 · 10 · 10 · 10 jeweils als eine Potenz dar! LÖSUNG 10 · 10 = 10 2 10 · 10 · 10 = 10 3 10 · 10 · 10 · 10 = 10 4 Allgemein definiert man: Definition Für a * ℝ und n * ℕ* setzt man: a n = a · a · … · a n Faktoren Spezialfall: Für n = 1 ergibt sich: a 1 = a Ein Ausdruck der Form a n heißt Potenz mit der Basis a und dem Exponenten (der Hochzahl) n. a n … Potenz a … Basis n … Exponent (Hochzahl) Rechenregeln für Potenzen mit Exponenten aus ℕ* R Satz (Rechenregeln für Potenzen mit gleicher Basis) Für alle a * ℝ und alle m, n * ℕ* gilt: (1) a m · a n = a m + n (2) a m _ a n = a m – n (für a ≠ 0 und m > n) (3) (a m) n = a m · n BEWEIS (1) a m · a n = a · a · … · a m Faktoren · a · a · … · a n Faktoren = a · a · … · a (m + n) Faktoren = a m + n 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 1.1 POTENZEN MIT EXPONENTEN AUS N* (2) a m _ a n = m Faktoren a · a · … · a __ a · a · … · a n Faktoren =a·a·…·a (m – n) Faktoren (3) (a m) n = am · am · … · am n Potenzen = (a · a · … · a) · (a · a · … · a) · … · (a · a · … · a) n Terme in Klammern zu je m Faktoren = a m · n In Worten: (1), (2) Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert (dividiert), indem man die Basis mit der Summe (Differenz) der Exponenten potenziert. (3) Eine Potenz wird potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert. Satz (Rechenregeln für Potenzen mit gleichem Exponenten) Für alle a, b * ℝ und alle n * ℕ* gilt: (1) (a · b) n = a n · b n (2) ( a _ b ) n = a n _ b n (für b ≠ 0) BEWEIS (1) (a · b) n = (a · b) · (a · b) · … · (a · b) n Terme in Klammern =(a·a·…·a) n Faktoren · (b · b · … · b) n Faktoren = a n · b n (2) ( a _ b ) n = a _ b · a _ b ·…· a _ b n Faktoren = a · a · … · a _ b · b · … · b = a n _ b n In Worten von links nach rechts gelesen: (1) Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor potenziert. (2) Ein Quotient wird potenziert, indem man Zähler und Nenner potenziert. In Worten von rechts nach links gelesen: (1) Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man das Produkt der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. (2) Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man den Quotienten der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. 1.02 Stelle den Term als eine Potenz dar! a) 3 4 · 3 8 b) 5 7 _ 5 3 c) (2 5) 4 d) 8 3 · 2 3 e) 10 4 _ 5 4 LÖSUNG a) 3 4 · 3 8 = 3 4 + 8 = 3 12 b) 5 7 _ 5 3 = 5 7 – 3 = 5 4 c) (2 5) 4 = 2 5 · 4 = 2 20 d) 8 3 · 2 3 = (8 · 2)3 = 16 3 e) 10 4 _ 5 4 = ( 10 _ 5 ) 4 = 2 4 1.03 Zeige: Ist a * R und n * N*, dann gilt: 1) (– a) n = a n, falls n gerade 2) (– a) n = –a n, falls n ungerade LÖSUNG (– a) n = (– a) · (– a) · … · (– a) n Faktoren Da zwei benachbarte Minuszeichen einander aufheben, folgt: 1) Ist n gerade, dann ist (– a) n = a n. 2) Ist n ungerade, dann ist (– a) n = – a n. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 1 POTENZEN, WURZELN UND LOGARITHMEN 1.04 Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! a) a 6 + a 2 = a 8 b) a 3 · a 3 = a 9 a 4 · ( 1 _ a ) 4 = 1 a 7 : a 6 = a (a 6 · b) 2 = a 12 · b a 2 · a 2 · a 2 = 3 a 2 a 10 _ a 5 = a 2 (a 3) 5 = a 8 a 2 · b 4 · c 6 = (a · b 2 · c 3) 2 (2 a 3) 2 = 4 a 6 1.05 Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! a) (– 2) 3 = – 2 3 b) 3 4 > 2 4 (– 2) 1 = 2 (– 2) 4 > – 2 4 (– 1) 4 ·(–1) = 1 2 4 > (– 2) 4 (– 1) 4 : (– 1) = (– 1) 3 (– 2) 4 < (– 2) 3 (– 3) 4 = – 3 4 2 4 · 3 4 < 6 4 1.06 Stelle als eine Potenz dar und berechne! a) (– 2)3 · (– 2)2 c) (– 7)3 · (– 7) e) ( 1 _ 2 ) 2 · ( 1 _ 2 ) 3 g) (– 3)2 · 3 b) (– 3)3 · (– 3)2 d) (– 5)2 · (– 5)2 f) (– 1 _ 2 ) 3 · (– 1 _ 2 ) 3 h) (– 4)2 · 4 1.07 Stelle als eine Potenz dar und berechne! a) 39 : 33 c) (– 2)3 : (– 2)2 e) ( 1 _ 5 ) 4 : ( 1 _ 5 ) 2 g) ( 1 _ 3 ) 2 : 1 _ 3 b) (– 4)8 : (– 4)4 d) (– 5)10 : (– 5)5 f) (– 1 _ 2 ) 7 : (– 1 _ 2 ) 3 h) ( 1 _ 6 ) 4 : ( 1 _ 6 ) 3 1.08 Berechne geschickt! a) 53 · 23 c) 0,54 · 24 e) ( 3 _ 2 ) 2 · (– 2)2 g) ( 2 _ 3 ) 3 · ( 3 _ 2 ) 3 b) 24 · 34 d) (– 1,5)3 · (– 2)3 f) 0,024 · 54 h) (– 0,5)3 · 0,53 1.09 Vereinfache für n * N*! a) a n · a 2 n c) a n _ a e) (– a) 5 n _ (– a) 2 n g) (a n) 3 i) (– a n) : (–a) b) a 6 n : a 2 n d) a 10 n _ a f) a n · a 6 _ a · a 5 h) (a n + 1) 4 j) (– a) n : (– 1) 1.10 Berechne für n * N*! a) 0 n b) (– 1) n c) (– 1) 2 n d) (– 1) 2 n + 1 e) 1 + (– 1) 2 n 1.11 Berechne für n * N*! a) 2 – (– 1) 2 n _ 2 + (– 1) 2 n – 1 b) 2 + (– 1) 2 n – 1 _ 2 – (– 1) 2 n c) 2 – (– 1) 2 n + 1 _ 2 + (– 1) 2 n d) 2 + (– 1) 2 n _ 2 – (– 1) 2 n + 1 e) 2 + (– 1) 2 n + 1 _ (– 1) 2 n 1.12 Vereinfache! a) ( 1 _ 2 x) 3 · (2x 4) 3 b) (x 3) 6 _ x 2 · 2x 3 c) (– 1 _ 2 x 2) 3 : x 4 d) 0,25 x 5 : (0,5x 2) 2 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 1.13 Stelle als Produkt zweier Potenzen dar! a) (x4 y) · (x3 y5) b) (am b3) · (a2 b4 m + 1) c) (xm y3) · (x3 + m y5 m) d) (am + 2 · bm + 3)3 1.14 Vereinfache! a) 3 a4 – (a3 – 2 a2) · a c) (u2 – u) · (u3 + u2) e) (v3 – v2) · (v3 + v2) b) (y3 – y) · y + y4 + y2 d) (x2 – x) · (x2 + x) f) m · (m + 1) · (m – 1) + m 1.15 Zerlege in ein Produkt! a) a3 – a b) b5 + m – b2 c) k5 m – k2 m d) x5 + m – x3 + m + x2 + m e) ym + 3 – ym 1.16 Vereinfache den folgenden Ausdruck so, dass nur noch zwei Potenzen auftreten! a) a 10 _ b 3 · ( b 2 _ a 3 ) 2 b) (– p 3 _ q 4 ) 2 · ( q 5 _ p 2 ) 2 c) ( x 10 _ y ) 2 : (– x _ y 2 ) 3 d) (– c 6 _ d 7 ) 3 : (– c 2 _ d 6 ) 2 1.17 Vereinfache! a) (3 x)3 – x3 b) (– 6 u)2 + 36 u2 c) (xy)2 + 2 x2 y2 d) (– 3 a2 b)2 – a4 b2 1.18 Ein Würfel hat die Kantenlänge 104 cm. Gib sein Volumen in Kubikzentimeter und in Kubikmillimeter an! 1.19 Der Radius der Sonne beträgt ungefähr 7 · 108 m. Berechne näherungsweise das Volumen und den Oberflächeninhalt der Sonne! Wähle für π den Näherungswert 3! HINWEIS Volumen einer Kugel: V = 4 r 3 π _ 3 , Oberflächeninhalt einer Kugel: O = 4 r 2 π 1.20 Von einer geraden quadratischen Pyramide kennt man die Grundkantenlänge a = 2 · 102 m und die Höhe h = 1,2 · 102 m. Berechne das Volumen und den Oberflächeninhalt dieser Pyramide! 1.21 Die Lichtgeschwindigkeit beträgt ungefähr 3 · 108 m/s. Unter 1 Lichtjahr (1 ly) versteht man die Länge des Wegs, den das Licht in einem Jahr zurücklegt. a) Berechne diese Weglänge in Meter bzw. Kilometer und gib das Ergebnis jeweils in Gleitkommadarstellung an! b) Gib 1 ly in Gleitkommadarstellung in Millimeter an! c) Das Licht braucht von der großen Galaxie im Sternbild Andromeda bis zur Erde ungefähr 2,5 Millionen Jahre. Gib die ungefähre Entfernung dieser Galaxie zur Erde in Meter an! 1.22 Wie lange braucht eine Rakete mit einer Geschwindigkeit von 30 000 km/h, um ein Lichtjahr (1 ly ≈ 9 · 1012 km) zurückzulegen? 1.23 Das Licht hat eine Geschwindigkeit von 3 · 108 m/s und braucht für den Weg zur Erde a) von der Sonne etwas mehr als 8 Minuten, b) vom Sirius (hellster Fixstern, der von der nördlichen Halbkugel aus gesehen werden kann) etwa 9 Jahre, c) von einem Stern im Zentrum der Milchstraße etwa 30 000 Jahre. Berechne unter Verwendung von Zehnerpotenzen die ungefähre Entfernung der Sonne, des Sirius bzw. des Zentrums der Milchstraße von der Erde! 1.24 Die Anzahl der Moleküle in 1 cm3 eines Gases beträgt ca. 27 Trillionen. a) Schreibe diese Zahl mit Hilfe von Zehnerpotenzen an! b) Wie viele Moleküle sind in einem Liter eines Gases enthalten, wie viele in 1 m3? 1.1 POTENZEN MIT EXPONENTEN AUS N* Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 1 POTENZEN, WURZELN UND LOGARITHMEN 1.2 Potenzen mit Exponenten aus Z Definition von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten R Wir kennen schon Zehnerpotenzen mit der Hochzahl 0 und mit negativen Hochzahlen: 10 0 = 1 10 – 1 = 1 _ 10 10 – 2 = 1 _ 100 10 – 3 = 1 _ 1 000 usw. Allgemein definiert man: Definition Für alle a * ℝ* und alle n * ℕ* setzt man: (1) a 0 = 1 (2) a – n = 1 _ a n Insbesondere gilt: a – 1 = 1 _ a und 1 _ a – n = _ 1 1 _ a n = a n BEMERKUNG 0 0 ist nicht definiert. Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten R Die im vorigen Abschnitt bewiesenen Potenzregeln gelten weiterhin. Die Einführung von negativen Hochzahlen erweist sich dabei als Vorteil, da wir bei der Regel a m _ a n = a m – n nicht mehr m > n voraussetzen müssen. Die Beweise dieser Regeln finden sich im Anhang auf Seite 282. Satz (Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten) Für alle a, b * ℝ* und alle m, n * ℤ gilt: (1) a m · a n = a m + n (3) (a m) n = a m · n (5) ( a _ b ) n = a n _ b n (2) a m _ a n = a m – n (4) (a · b) n = a n · b n 1.25 Zeige, dass für alle a, b * ℝ* und alle n * ℤ gilt: ( a _ b ) – n = ( b _ a ) n LÖSUNG ( a _ b ) – n = 1 _ ( a _ b ) n = _ 1 a n _ b n = b n _ a n = ( b _ a ) n 1.26 Berechne: a) 2– 3 b) 4– 2 c) 0,2– 3 d) 0,05– 4 e) 1,4– 5 f) ( 1 _ 2 ) – 3 g) ( 3 _ 4 ) – 6 1.27 Berechne: a) (– 3)– 4 b) (– 5)– 3 c) – (0,5– 3) d) (– 0,02)– 4 e) (– 1,7)– 2 f) (– 1 _ 4 ) – 2 g) – ( 3 _ 4 ) – 1 1.28 Berechne: a) (– 3)0 b) (50)3 c) – (0,4– 3) · 0,43 d) ((1,7)– 2)0 e) (– 1 _ 4 ) – 1 · ( 1 _ 2 ) 2 f) (– ( 3 _ 4 ) – 1 · 3 0) – 2 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 1.2 POTENZEN MIT EXPONENTEN AUS Z 1.29 Berechne: a) 23 · 2– 2 c) 10– 3 · 102 · 104 e) 103 · 10 · 10– 5 g) 23 · 32 · 2– 7 b) 34 · 3– 2 d) 102 · 102 · 100 f) 103 · 103 · 10– 6 h) 7 4 · 49 · 7 – 7 1.30 Berechne: a) (2 3) 2 b) (3 2) 2 c) (2 – 2) 3 d) (3 – 3) – 2 e) ((– 2) 2) – 2 f) ((– 3) – 2) – 3 1.31 Stelle mit positiven Hochzahlen dar! a) a – 2 b) 2 · x – 13 c) 1 _ u – 4 d) 8 _ v – 3 e) a 2 b – 3 f) 7 x – 2 y g) – 2 v 3 w – 3 h) 4 p – 3 q – 1 1.32 Stelle mit positiven Hochzahlen dar! a) 1 _ z – 2 b) 3 _ m – 3 c) – 5 _ a – 1 d) 2 – 1 _ x e) 2 – 1 _ x – 1 f) 3 – 2 _ x – 3 g) – 10 – 1 _ u – 2 h) (– 2) – 1 _ v – 10 1.33 Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! a) a – 2 · a – 2 = a 4 b) 1 _ a 2 = a – 2 a – 5 : a – 5 = 1 – 1 _ a 2 = a – 2 a – 2 · a – 3 · a – 4 = a – 9 a – 3 _ a 4 = 1 _ a– 7 (a 3) – 5 = a – 8 a – 2 · a – 3 · (2 a) – 4 = 1 _ 16 a 9 (a – 3) – 2 = a– 6 a 2 · a – 2 _ a 0 = 0 1.34 Ordne jedem Term in der linken Tabelle das dazugehörige Ergebnis aus der rechten Tabelle zu! a) (2 2) 2 A 4 b) 3 2 · 3 – 2 __ 3 – 1 A 1 _ 25 (2 – 2) 2 B 1 _ 16 3 · 3 – 1 _ 3 6 · 3 – 5 B 1 _ 3 (2 – 1) – 2 C 1 5 – 4 · 5 – 2 _ 5 – 3 · 5 – 1 C 25 (2 2) – 1 D 16 5 – 1 · 5 3 _ 5 2 · 5 – 2 D 50 E 1 _ 4 E 3 F 0 F 1 _ 5 1.35 Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! a) x – 2 _ x 3 = x 5 b) x – 1 · y – 1 = (x · y) – 1 y 2 _ y – 4 = 1 _ y 6 (– x) 3 · y 3 = – (x · y) 9 u – 3 · v _ u – 5 · v – 1 =u·v x – 1 _ y – 1 = y _ x 2 · w – 3 · z _ w 6 · z – 7 = 2 z 8 _ w 9 (x · y) – 1 __ x – 1 · y = 1 3 · r – 1 · s 2 _ r – 2 · w – 1 = 3rs 2 w x 4 · y 4 = (x · y) 8 1.36 Vereinfache und stelle das Ergebnis mit positiven Hochzahlen dar! a) (x 3 + 1 + x – 2) · x 3 c) (n 3 + n 2 + n – 1) · 2n – 1 e) (v 2 – v) · (v – 1 + 1) b) (a 2 + a – 1 + a – 2) · 3a 2 d) 3 u · (u – 1 v – 1) – 1 f) (k – 1 – 1) · (k + 1) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 1 POTENZEN, WURZELN UND LOGARITHMEN 1.37 Vereinfache und stelle das Ergebnis mit positiven Hochzahlen dar! a) x – 2 _ x 3 b) y 2 _ y – 4 c) a – 3 · b _ a – 5 · b – 1 d) a – 1 · b 2 _ a · b – 3 e) 2 · u – 5 · v _ u 6 · v – 2 f) 3 · v – 1 · w 2 _ v – 7 · w – 3 1.38 Vereinfache und stelle das Ergebnis mit positiven Hochzahlen dar! a) (x 2 y) – 3 _ x b) (x 2 y 2) – 1 _ x – 1 y – 1 c) 3 a · 1 _ 6 a – 2 d) 9 _ 3 x – 1 y – 1 · x 2 y 2 e) 25 x _ x – 3 y – 2 · x – 1 y 2 f) 2 uv _ u – 1 v – 1 : u – 1 v _ v – 1 u 1.39 Vereinfache und stelle das Ergebnis mit positiven Hochzahlen dar! a) a– 3 : b0 b) u0 : v– 1 c) 1 _ w 2 · x 0 d) 2 k 0 _ m – 2 e) x – 1 + x 0 _ y 0 f) x 0 _ 1 + y 0 g) a 0 · m – 1 _ n 0 1.40 Vereinfache und stelle das Ergebnis mit positiven Hochzahlen dar! a) a + b _ a – 1 + b – 1 b) a – b _ a – 1 – b – 1 c) (x – 1 + y – 1) – 1 d) (x – 1 – y – 1) – 1 e) z – 1 · 1 _ z ·z· 1 _ z – 1 1.41 Vereinfache und stelle das Ergebnis mit positiver Hochzahl dar! a) a 5 _ a – 2 b) x – 5 · x _ x – 3 c) s 4 · s – 3 _ s 5 · s 6 : s – 2 d) (u 2) – 5 _ u 7 e) ( 1 _ 2 y) – 3 · (2y 4) – 3 f) – 1 _ 2 · k – 2 · k 4 1.42 Ordne jedem Term in der linken Tabelle den äquivalenten Term aus der rechten Tabelle zu! a) ( 4 a – 2 b 3 _ 8 a 4 b – 4 ) – 2 A 8 a 21 b 15 b) (a + b) · (a + b) – 2 A (a + b) 3 ( 2 a 3 b 2 _ a – 4 b – 3 ) 3 B b 4 _ a 6 1 _ (a + b) – 2 B 1 _ a 2 +2ab+b 2 ( a 2 b – 3 _ a – 1 b 0 ) – 2 C 4 a 12 _ b 14 (a + b) 2 _ (a + b) – 1 C 1 _ a + b ( a 4 b _ a – 2 b 5 ) – 1 D b 6 _ a 6 (a + b) – 1 a 0 b _ (a + b) b D a 2 + 2ab + b 2 E a 6 _ b 4 E a + b F a 5 b – 2 F 1 __ ab + b2 1.43 Berechne geschickt! a) ( 1 _ 2 ) – 3 : ( 1 _ 2 ) 3 b) ( 2 _ 3 ) 2 : ( 2 _ 3 ) – 2 c) ( 1 _ 3 ) 3 : ( 1 _ 3 ) – 1 d) ( 5 _ 6 ) – 1 : ( 5 _ 6 ) – 2 1.44 Stelle mit positiven Hochzahlen dar, vereinfache dann und berechne! a) 2 · 3 – 3 · 5 _ 4 – 2 · 9 · 5 – 1 c) (– 3) 2 · 27 · 5 3 _ (– 3) 4 · 3 · 5 2 e) 4 – 3 · 7 2 · 10 – 2 _ 2 – 7 · 7 · 100 – 1 g) 15 · 3 2 · 5 – 2 _ 3 – 1 · 5 – 2 · 9 b) 3 2 · 16 ·5 – 2 _ 3 – 1 · 2 3 · 5 – 3 d) 2 3 · 5 – 2 · 100 _ 4 · 5 – 3 · 10 3 f) 8 ·25 – 2 · 7 – 3 _ 2 4 · 5 – 3 · 7 – 4 h) 10 · 3 – 1 · 5 2 _ 2 · 3 – 2 · 25 2 1.45 Vereinfache und stelle das Ergebnis mit positiven Hochzahlen dar! a) ( x _ 2 y ) – 1 · ( 2 x _ y ) – 2 b) ( u v _ w ) – 2 · (– v w _ u ) – 1 c) ( 1 _ y ) – 1 · ( x _ y ) – 2 d) [ ( 3 x _ y ) – 2 ] 3 · ( x _ y ) 6 1.46 Berechne für a = 0,2 · 10– 5, b = 0,3 · 10– 6, c = 0,1 · 10– 8! a) a · b b) a 2 · c c) ab 2 _ c d) a 2 b 2 _ c 3 e) a 2 b 2 _ 10 c 2 f) ab 3 _ 100 c 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
13 1.47 Der Radius eines Wasserstoffatoms beträgt etwa 0,000 000 005 cm. Der Durchmesser eines Natriumatoms beträgt etwa 0,000 000 04 cm. Schreibe diese Zahlen mit Hilfe von Zehnerpotenzen kürzer an! Berechne das Volumen eines Wasserstoff- bzw. Natriumatoms näherungsweise unter der Annahme, dass ein Atom kugelförmig ist! 1.48 Ein Eisenstab der Länge 1 m dehnt sich bei einer Temperaturerhöhung um 1 °C (innerhalb eines bestimmten Temperaturbereichs) jeweils um 12 · 10– 6 m aus. Um wie viel Millimeter dehnt sich eine 25m lange Eisenbahnschiene bei Erwärmung um 50°C aus? 1.49 Der Abstand zweier Atome beträgt in einer chemischen Verbindung 10– 10 m. Wie viele solche Atome hätten auf einer Strecke von 5 cm Länge Platz? 1.50 Ein (kugelförmig gedachtes) Virus hat einen Radius von ca. 10– 7 m. Berechne das ungefähre Volumen des Virus! 1.51 Ein Grippevirus hat eine Masse von ca. 10– 19 kg. Wie viele solche Viren ergeben ein Gesamtgewicht von 1 mg? 1.52 Ein Elektron hat eine Masse von 9,109 6 · 10– 31 kg, ein Proton von 1,672 648 · 10– 27 kg. Wievielmal schwerer ist ein Proton als ein Elektron? 1.53 Ein Wasserstoffatom hat eine Masse von 1,68 · 10– 27 kg, ein Eisenatom von 9,5 · 10– 26 kg. Wie viel Promille von der Masse eines Eisenatoms macht die Masse eines Wasserstoffatoms aus? 1.54 Töne entstehen durch Luftschwingungen. Die Schwingungsdauer beträgt bei den höchsten hörbaren Tönen ungefähr 0,5 · 10– 4 s. Die Zeit zwischen zwei Herzschlägen beträgt grob geschätzt 1 s. Ungefähr wie viele Schwingungen erfolgen bei den höchsten hörbaren Tönen zwischen zwei Herzschlägen? 1.55 In einen Liter keimfreier Milch gibt man ein Joghurt-Bakterium. Nach 36 h findet man 20 Bakterien in einem Milchvolumen von 1 _ 4 000 mm 3. Wie viele solcher Bakterien sind dann in einem Liter enthalten? Wie groß ist das Volumen der in einem Liter enthaltenen Bakterien, wenn man annimmt, dass diese kugelförmig mit einem Radius von 10 – 6 m sind? 1.56 Für die Temperaturmessung wird in der Physik meist statt der Celsiusskala die Kelvinskala verwendet. Dabei stellen ein Grad Kelvin (1 K) und ein Grad Celsius (1 °C) dieselbe Temperaturänderung dar, jedoch liegt der Nullpunkt der Kelvinskala bei – 273,15 °C. Es gilt also: 0 K = – 273,15 °C. Man nimmt an, dass keine tieferen Temperaturen möglich sind, und bezeichnet daher 0 K als absoluten Nullpunkt der Temperatur. Der tiefste derzeit im Labor erreichte Temperaturwert beträgt 5 · 10 – 4 K. Wie viel Grad Celsius sind das? 1.57 Der Durchmesser von Ölmolekülen lässt sich annähernd auf folgende Weise ermitteln: Man löst 1 cm3 Öl in 1 000 cm3 Weingeist und bringt einen Tropfen dieser Lösung auf eine Wasseroberfläche. Dort breitet sich das Öl zu einer kreisförmigen Schicht aus, deren Dicke annähernd gleich dem Durchmesser eines Ölmoleküls ist (der Weingeist verdunstet oder löst sich in Wasser auf). Bei einem Experiment hat man das Volumen eines Tropfens der Lösung mit 5 · 10– 2 cm3 und den Radius der Ölschicht mit 10 cm gemessen. Wie viel Kubikzentimeter Öl haben sich auf der Wasseroberfläche ausgebreitet? Wie groß ist ungefähr die Dicke der Ölschicht und damit der Moleküldurchmesser? 1.2 POTENZEN MIT EXPONENTEN AUS Z Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
14 1 POTENZEN, WURZELN UND LOGARITHMEN 1.3 Wurzeln Definition der n-ten Wurzel R 1.58 Ermittle alle Lösungen der Gleichung x 2 = 4! LÖSUNG x = 2 = x = – 2 Die Gleichung x2 = 4 hat zwei Lösungen, nämlich 2 und – 2, da 22 = 4 und (–2)2 = 4. Früher hat man sowohl 2 als auch – 2 mit � _ 4bezeichnet. Damit das Wurzelsymbol eindeutig ist, bezeichnet man aber heute nur die nichtnegative Lösung 2 dieser Gleichung mit � _ 4 . Allgemein definiert man: Definition Ist a * ℝ 0 + , so nennt man jene nichtnegative reelle Zahl, deren Quadrat gleich a ist, die Quadratwurzel aus a und bezeichnet sie mit 2 � _ a oder kurz mit � _ a . Symbolisch: � _ a = x É x 2 = a ? x º 0 Noch allgemeiner definiert man: Definition Ist n * ℕ* und a * ℝ 0 + , so nennt man jene nichtnegative reelle Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist, die n-te Wurzel aus a und bezeichnet sie mit n � _ a . Symbolisch: n � _ a = x É x n = a ? x º 0 Für n = 2 stimmt diese Definition mit der Definition der Quadratwurzel überein. Bei n � _ asind folgende Bezeichnungen üblich: a … Radikand [radix, lat. = Wurzel] n … Wurzelexponent BEMERKUNG Man kann zeigen, dass die Gleichung x n = a (mit n * ℕ* und a * ℝ 0 +) genau eine nichtnegative reelle Lösung hat. Deshalb ist n � _ aeindeutig bestimmt. Rechenregeln für Wurzeln R Satz (Rechenregeln für Wurzeln) Für alle a, b * ℝ 0 + , alle m, n, k * ℕ* und alle z * ℤ gilt: (1) n � __ a n = a (3) ( n � __ a ) z = n � __ a z (a ≠ 0) (5) n � __ a _ b = n � __ a _ n � __ b (b ≠ 0) (7) k · m � ____ a k · n = m � __ a n (2) ( n � __ a ) n = a (4) n � ____ a · b = n � __ a · n � __ b (6) m � ___ n � __ a = m · n � __ a Ein Beweis dieses Satzes findet sich im Anhang auf Seite 282 und 283. BEMERKUNG Die Regel (7) besagt, dass man Wurzelexponent und Exponent des Radikanden durch dieselbe Zahl kürzen bzw. mit derselben Zahl erweitern darf. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
15 1.3 Wurzeln 1.59 Ermittle mit Technologieeinsatz näherungsweise die nichtnegative Lösung der folgenden Gleichung! Runde auf drei Nachkommastellen! a) x 5 = 27 b) x 6 = 1,4 c) x 4 = 0,003 d) x 19 = 1,1 e) x 25 = 1 000 1.60 Berechne ohne Technologieeinsatz! a) � _ 3 · � _ 27 c) � _ 12 _ � _ 3 e) � _ 6 · � _ 6 g) 2 · 4 � __ 3 · 4 � __ 27 b) � _ 5 · � _ 20 d) � _ 50 _ � _ 2 f) ( � _ 2 ) 2 h) 3 � ___ 128 _ 2 · 3 � __ 2 1.61 Berechne ohne Technologieeinsatz! a) ( � _ 5 ) 6 b) ( � _ 2 ) 4 c) ( � _ 3 ) 4 d) ( 3 � __ 2 ) 6 1.62 Berechne ohne Technologieeinsatz! a) ( � _ 2 – � _ 4,5 ) · � _ 2 b) ( � _ 2 + � _ 8 ) 2 c) ( � _ 3 – � _ 12 ) 2 d) (2 – 3 · � _ 5 ) · (2 + 3 · � _ 5 ) 1.63 Berechne ohne Technologieeinsatz! a) ( � _ 3 ) 8 b) (2 � _ 2 ) 4 c) ( 6 � __ 3 ) 12 d) (3 4 � __ 5 ) 4 e) (4 4 � __ 4 ) – 2 1.64 Ermittle die Zahl m! a) 24 � ____ x m · 3 = 4 � __ x 3 b) m � _ r·s= m � _ r · 5 � _ s c) 3 � ___ m � _ 7 = 6 � _ 7 d) ( 4 � __ 2 ) m = 4 � __ 8 1.65 Vereinfache! a) � _ x · � _ x b) 3 � __ u 2 · 3 � _ u c) � _ a n · ( � _ a ) n d) � _ a 3 b 5 _ � a 2 b 4 e) 3 � ____ u 2 v 7 _ 3 � ____ u 2 v 6 1.66 Kreuze die beiden zu 3 � __ 64äquivalenten Terme an! 1.67 Ordne jeder Rechenanweisung in der linken Tabelle das dazugehörige Ergebnis aus der rechten Tabelle zu, ohne Technologie zu benutzen! a) � _ 8 · � _ 2 A 1 b) � _ 50 _ � _ 2 A 2 3 � __ 4 · 3 � __ 2 B 2 3 � __ 54 _ 3 � __ 2 B 3 4 � __ 2 · 4 � ___ 0,5 C 3 4 � __ 48 _ 4 � __ 3 C 4 5 � __ 9 · 5 � __ 27 D 4 � _ 10 _ � 0,1 D 5 E 5 E 10 F 6 F 20 AUFGABEN R kompakt S. 27 kompakt S. 27 � _ 16 · � _ 4 ( 3 � __ 2 ) 2 · � _ 16 12 � ___ 64 4 ( � _ 2 ) 6 � _ 64 _ 5 � __ 32 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
16 1 POTENZEN, WURZELN UND LOGARITHMEN Partielles Wurzelziehen R Beim partiellen Wurzelziehen zerlegt man den Radikanden so in ein Produkt, dass man für einen Faktor oder mehrere Faktoren die Wurzel einfach bestimmen kann. 1.68 Vereinfache durch partielles Wurzelziehen! a) � _ 8 b) 3 � __ 48 c) � _ 125 _ 49 d) 3 � ____ x 6 y 4 LÖSUNG a) � _ 8 = � _ 4·2=� _ 4 · � _ 2=2·� _ 2 c) � _ 125 _ 49 = � _ 25 · 5 _ 49 = � _ 25 _ 49 · � _ 5 = 5 _ 7 · � _ 5 b) 3 � __ 48 = 3 � ____ 8·6= 3 � __ 8 · 3 � __ 6=2· 3 � __ 6 d) 3 � _____ x 6 · y 4 = 3 � _______ x 6 · y 3 · y= 3 � __ x 6 · 3 � __ y 3 · 3 � _ y = x 2 y · 3 � _ y 1.69 Forme durch partielles Wurzelziehen um! a) � _ 18 b) � _ 45 c) � _ 108 d) � _ 288 e) � _ 300 f) � _ 1 200 1.70 Forme durch partielles Wurzelziehen um! a) 3 � __ 24 b) 3 � __ 54 c) 3 � __ 81 d) 4 � __ 64 e) 5 � ___ 128 f) 6 � ___ 128 1.71 Forme durch partielles Wurzelziehen um! a) � _ 64 x 3 b) 3 � ____ 27 u 7 c) 3 � ______ 125 u 6 v 8 d) 4 � ______ 16 x 5 yz 8 e) � _ 4 m 2 n 3 _ k 4 f) 3 � _____ 81 w 6 x 2 _ y 9 1.72 Vereinfache! a) � _ x 3 y – 2 · � _ x 5 y 3 b) 3 � ___ x y 2 · 3 � ____ x 7 y – 1 c) � _ x 11 y 7 _ � x 6 y 5 d) 3 � ____ x 7 y 8 _ 3 � ____ x 4 y 3 e) 4 � ____ x 2 y 2 · 4 � _____ 16 x 3 y 3 __ 4 � __ xy 1.73 Leite mit dem pythagoräischen Lehrsatz eine Formel für die folgende Größe her und stelle die Größe in der Form x · � _ y dar! a) Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 2 a b) Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 2 a c) Länge der Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge a d) Länge der Diagonale eines Rechtecks mit den Seitenlängen s und s _ 3 e) Höhe des Trapezes in nebenstehender Abbildung f) Länge der Diagonale des Trapezes in nebenstehender Abbildung g) Flächeninhalt des Trapezes in nebenstehender Abbildung Unter eine Wurzel bringen R Die Umkehrung des partiellen Wurzelziehens besteht darin, dass man einen vor einer Wurzel stehenden Faktor unter die Wurzel bringt, indem man diesen geeignet potenziert. 1.74 Bringe alles unter eine Wurzel! a) 2 · � _ 2 b) 3 · 3 � __ 2 c) � _ a _ 2 b d) a _ c · 3 � __ c 2 _ a LÖSUNG a) 2 · � _ 2 = � _ 2 2 · 2= � _ 8 c) � _ a _ 2 b = � _ a _ 4 b 2 b) 3 · 3 � __ 2 = 3 � ____ 3 3 · 2= 3 � __ 54 d) a _ c · 3 � __ c 2 _ a = 3 � _____ a 3 _ c 3 · c 2 _ a = 3 � __ a 2 _ c AUFGABEN R a 2a 2a 3a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
17 1.3 Wurzeln 1.75 Bringe alles unter eine Wurzel! a) v 2 · 3 � _ u v b) u v · � _ u v c) � _ 2 u _ 3 u d) u 2 _ v · 3 � __ v 2 _ u 2 e) u 2 · 3 � __ u 2 f) u _ 2 · 4 � ___ 16 u 1.76 Bringe alles unter eine Wurzel! a) x · � _ 1 _ x b) x _ � _ x c) � _ x _ x d) x _ 3 � __ x 2 e) x 2 _ � x 3 1.77 Schreibe mit nur einer Wurzel an! a) � _ a · 3 � _ a b) 3 � __ a 2 _ � _ a c) � _ a · 4 � _ a d) 4 � __ a 2 _ � _ a HINWEIS zu a): � _ a · 3 � _ a = 6 � __ a 3 · 6 � __ a 2 = … Wurzelfreimachen des Nenners L Das Dividieren durch eine Wurzel stellt bei Technologieeinsatz kein Problem dar. Bei Formeln oder Rechenergebnissen zieht man es aber oft vor, den Nenner „wurzelfrei“ zu machen. 1.78 Forme den gegebenen Bruch so um, dass im Nenner keine Wurzel vorkommt! a) 3 a _ � _ 5 b) x · � _ 3 _ � _ 3 + 1 LÖSUNG a) Wir erweitern den Bruch mit � _ 5 : 3 a _ � _ 5 = 3 a · � _ 5 _ � _ 5 · � _ 5 = 3 a � _ 5 _ ( � _ 5 ) 2 = 3 a _ 5 � _ 5 b) Wir erweitern den Bruch mit � _ 3– 1 und wenden im Nenner eine binomische Formel an: x · � _ 3 _ � _ 3 + 1 = x · � _ 3 · ( � _ 3 – 1) _ ( � _ 3+ 1) · (� _ 3 – 1) = x · (3 – � _ 3 ) _ 3 – 1 = x · (3 – � _ 3 ) _ 2 1.79 Forme den Bruch so um, dass im Nenner keine Wurzel vorkommt! a) x _ � _ 7 b) a _ 2 · � _ 3 c) 5 b _ 1 – � _ 3 d) x _ � _ 3 + � _ 2 e) x – y _ � x – y 1.80 Ein Quadrat hat den Flächeninhalt A. Drücke die Seitenlänge a und den Umfang u des Quadrats durch A aus! 1.81 Ein Würfel hat das Volumen V. Drücke die Kantenlänge a und den Oberflächeninhalt O des Würfels durch V aus! 1.82 Ein Kreis hat den Flächeninhalt A. Drücke den Radius r und den Umfang u des Kreises durch A aus! 1.83 Ein gleichseitiges Dreieck hat den Flächeninhalt A. Drücke die Seitenlänge a und den Umfang u des Dreiecks durch A aus! 1.84 Ein Würfel hat den Oberflächeninhalt O. Drücke die Kantenlänge a und das Volumen V des Würfels durch O aus! AUFGABEN R AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
18 1 POTENZEN, WURZELN UND LOGARITHMEN Wurzelgleichungen L 1.85 Für welche x * R gilt: a) � _2x – 4–2 = 0 b) � _2x–4+2=0 c) � _2–2x=� _2x –10 LÖSUNG a) � _2x – 4–2 = 0 | Isolieren der Wurzel Probe: � _2·4–4–2=0 � _2x – 4= 2 | Quadrieren 2x–4=4 2 x = 8 x = 4 b) � _2x–4+2=0 | Isolieren der Wurzel Probe: � _ 2·4–4+2≠0 � _2x – 4= –2 | Quadrieren Die erhaltene Zahl 4 ist also keine 2x–4=4 Lösung der gegebenen Gleichung. 2x=8 Die Gleichung gilt für kein x * R. x = 4 c) � _2–2x=� _2 x – 10 | Quadrieren Probe: � _ 2–6=� _6 – 10 2–2x=2x–10 Diese Gleichung ist sinnlos, da die 4x =12 Radikanden auf beiden Seiten negativ x = 3 s ind. Die erhaltene Zahl 3 ist also keine Lösung der gegebenen Gleichung. Die Gleichung gilt für kein x * R In den Aufgaben 1.85 b) und c) haben wir jeweils eine Zahl x erhalten, die die Probe nicht besteht, sodass diese Zahl keine Lösung der gegebenen Gleichung ist. Woran liegt das? Der Grund dafür ist darin zu suchen, dass Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist. Es gilt nur a = b w a2 = b2, aber nicht a2 = b2 w a = b. ZB: Aus (– 2)2 = 22 folgt nicht – 2 = 2. Wir haben durch unsere Rechnung nur gezeigt: Wenn die gegebene Gleichung eine Lösung x besitzt, dann muss x die erhaltene Zahl sein. Ob diese Zahl aber tatsächlich eine Lösung der Gleichung ist oder nicht, muss durch die Probe entschieden werden. Bei Wurzelgleichungen ist somit die Probe unerlässlich. 1.86 Für welche x * R gilt: a) � _3x+1+2=6 c) 4 + � _ 3 x _ 4 = 6 e) � _2x+1=� _5x –11 b) � _3x+1+6=2 d) 25 – � _4x –7= 20 f) � _ x–2=� _3 x + 4 1.87 Für welche a * R gilt: a) � _ a–2–� _ a+5=7 d) � _ a+5–� _ a = 1 g) 2 + � _a 2 +a+4=a+3 b) � _ a–2+� _ a+5=7 e) � _a+34=� _ a–1+5 h) 1 + � _(a + 2)(a – 2)= a c) � _a+11+� _ a = 11 f) 1 + � _a+21=� _a + 44 i) � _(a+1)(a–3)+2=a 1.88 Für welche x * R gilt: a) � _8x+1–� _2x+4=� _2x – 3 c) 3 _ � x + 8 = 1 _ � _ x e) 2 � _ x+2+5� _ x–1=� _49x –17 b) � _(x–1)·(x+2)+1=x d) 4 _ � x + 4 = 3 f) 2 � _ x+3+� _4x +12=12 kompakt S. 27 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
19 1.4 POTENZEN MIT EXPONENTEN AUS Q 1.4 Potenzen mit Exponenten aus ℚ Definition von Potenzen mit rationalen Exponenten R Für den weiteren Aufbau der Mathematik erweist es sich als zweckmäßig, Potenzen mit rationalen Hochzahlen einzuführen und zwar so, dass die bisherigen Potenzregeln weiterhin gelten. Betrachten wir zum Beispiel die Regel: Eine Potenz wird potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert. Wenn diese Regel auch für rationale Hochzahlen gelten soll, erhält man (a m _ n ) n = a m _ n · n = a m. Daraus folgt nach der Definition der n-ten Wurzel a m _ n = n � ___ a m . Daraus schließen wir: Soll die genannte Regel auch für rationale Hochzahlen gelten, so muss man definieren: a m _ n = n � ___ a m Definition Für alle a * ℝ 0 + , m * ℤ und n * ℕ* setzt man: a m _ n = n � ___ a m (sofern a und m nicht beide 0 sind) BEMERKUNGEN • Eine Zahl kann auf unendlich viele Arten durch einen Bruch dargestellt werden, zB: 1 _ 2 = 2 _ 4 = 3 _ 6 = 4 _ 8 = … (wobei alle diese Brüche durch Erweitern aus einem Ausgangsbruch hervorgehen). Damit die obige Definition von a m _ n sinnvoll ist, müssen wir zeigen, dass a 1 _ 2 = a 2 _ 4 = a 3 _ 6 = … ist, also stets a k m _ k n = a m _ n (für k ≠ 0) gilt. Dies ist aber der Fall, denn a k m _ k n = k n � ___ a k m = n � ___ a m = a m _ n . • Für n = 1 geht die Definition a m _ n = n � ___ a m über in a m _ 1 = 1 � ___ a m = a m. Potenzen mit rationalen Exponenten sind also eine Verallgemeinerung von Potenzen mit ganzen Exponenten. 1.89 Schreibe als Potenz mit rationaler Hochzahl an! a) 3 � __ 2 b) 3 � __ 2 7 c) 4 � __ 3 3 d) 3 � __ 5 2 e) n � __ 2 5 f) k � __ 2 7 1.90 Schreibe als Potenz mit rationaler Hochzahl an! a) � _ a – 1 b) 1 _ 3 � ___ x – 2 c) n � ___ b – 3 d) n � ___ y 0,5 e) 1 _ � _ u f) 1 _ 5 � ___ a 10 1.91 Schreibe als Wurzel an! a) a 1 _ 2 b) x 3 _ 4 c) y – 0,5 d) u – 2 _ 3 e) (3 v) – 2 _ 5 f) x 1,25 Rechenregeln für Potenzen mit rationalen Exponenten R Die bisherigen Potenzregeln gelten weiterhin. Beweise findet man im Anhang auf Seite 283. Satz (Rechenregeln für Potenzen mit rationalen Exponenten) Für alle a, b * ℝ + und alle r, s * ℚ gilt: (1) a r · a s = a r + s (2) a r _ a s = a r – s (3) (a r) s = a r · s (4) (a · b) r = a r · b r (5) ( a _ b ) r = a r _ b r AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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