102 ELLIPSE, HYPERBEL UND PARABEL GRUNDKOMPETENZEN Kegelschnitte in der Ebene durch Gleichungen beschreiben können [… ]. Die gegenseitige Lage von Kegelschnitt und Gerade ermitteln können. AG-L 5.1 AG-L 5.2 5 5.1 Die Ellipse Definition der Ellipse L Ein elliptisches Blumenbeet kann man so anfertigen: Man befestigt die Enden einer Schnur an zwei fixen Pflöcken F und F’ und spannt die Schnur mit der Spitze einer Stange (siehe die Abbildung). Bewegt man die Stangenspitze in alle möglichen Lagen, so erzeugt diese eine Ellipse. Bezeichnen wir die Länge der Schnur mit 2 a, dann gilt für jeden Punkt X der Ellipse: ‾FX + ‾ F’X= 2a Definition Eine Ellipse ell ist die Menge aller Punkte einer Ebene, für die die Summe der Abstände von zwei gegebenen Punkten F und F’ konstant (= 2 a > ‾ FF’ ) ist. ell = {X * R 2 | ‾FX + ‾F’X= 2a} Konstruktion einer Ellipse mit Zirkel und Lineal L Eine Ellipse ell = {X * ℝ 2 ‡ ‾FX + ‾ F’X= 2 a} kann man so konstruieren: • Zeichne die Punkte F und F’! • Zeichne eine Hilfsstrecke UV der Länge 2 a! • Wähle auf UV einen Punkt T (nicht zu nahe an U bzw. V)! Dieser zerlegt die Strecke UV in zwei Teilstrecken der Längen d und 2 a – d. • Schlage diese beiden Längen jeweils von F und von F’ aus mit dem Zirkel ab! • Man erhält vier Schnittpunkte X, X’, Y, Y’. Für jeden dieser Schnittpunkte ist die Summe der Abstände von F und F’ gleich d + (2 a – d) = 2 a. Diese vier Punkte liegen also auf der Ellipse. • Konstruiere für andere Lagen des Teilungspunktes T analog weitere Ellipsenpunkte! Ó Applet 9c42hv F' F X Y B X A T V U F d d 2a – d 2a – d 2a M X' B' Y' F' A' Ó Applet 9c93cj Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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