103 5.1 Die Ellipse Bezeichnungen bei einer Ellipse L Wir bezeichnen den Mittelpunkt der Strecke FF’ mit M und setzen ‾MF = ‾ MF’= e. Die Punkte auf der Geraden FF’, die von M den Abstand a haben, bezeichnen wir mit A und A’. Die Punkte auf der Normalen zu FF’ durch M, die sowohl von F als auch von F’ den Abstand a haben, bezeichnen wir mit B und B’. Die Punkte A und A’ liegen auf der Ellipse, denn es gilt: ‾FA + ‾ F’A=(a–e)+(a+e)=2a und ‾ FA’ + ‾ F’A’= (e + a) + (a – e) = 2a Die Punkte B und B’ liegen ebenfalls auf der Ellipse, denn es gilt: ‾FB + ‾ F’B=a+a=2a und ‾ FB’ + ‾ F’B’= a + a = 2a Folgende Namen sind üblich: F und F’ …… Brennpunkte Strecke AA’ …… Hauptachse M …… Mittelpunkt Strecke BB’ …… Nebenachse A und A’ …… Hauptscheitel ‾AA’ = 2 a …… Hauptachsenlänge B und B’ …… Nebenscheitel ‾BB’ = 2 b …… Nebenachsenlänge ‾MA = ‾MA’ = a und ‾MB = ‾MB’ = b …… Halbachsenlängen ‾MF = ‾MF’ = e …… Brennweite oder lineare Exzentrizität Aus der Abbildung erkennt man: Satz Für eine Ellipse mit den Halbachsenlängen a und b und der Brennweite e gilt: e 2 = a 2 – b 2 BEACHTE Aus b 2 = a 2 – e 2 ergibt sich, dass für eine Ellipse stets b ª a gilt. 5.01 Zeichne eine Ellipse mit a) a = 6cm,b = 4cm, b) a = 10 cm, e = 8 cm, c) b = 4cm,e = 4cm! 5.02 Zeichne eine Ellipse mit den Brennpunkten F und F’ und dem Punkt P! a) F = (3 1 0),F’=–F,P=(2 1 2) b) F = (2 1 0),F’=–F,P=(5 1 3) 5.03 Das 1. Keplersche Gesetz lautet: „Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, wobei die Sonne in einem Brennpunkt steht.“ Im Folgenden sind für jeden Planeten die Halbachsenlänge a und die sogenannte numerische Exzentrizität ε = e _ a angegeben. Entfernungen werden in astronomischen Einheiten (AE) gemessen: 1 AE = Länge der großen Halbachse der Erdumlaufbahn ≈ 149 597871 km. Berechne für jeden Planeten die Halbachsenlänge b (in Kilometer) sowie die größte und kleinste Entfernung des Planeten von der Sonne (in Kilometer)! a) Merkur: a = 0,387AE, ε = 0,206 e) Jupiter: a = 5,20 AE, ε = 0,048 b) Venus: a = 0,72 AE, ε = 0,0068 f) Saturn: a = 9,54 AE, ε = 0,056 c) Erde: a = 1 AE, ε = 0,017 g) Uranus: a = 19,18 AE, ε = 0,047 d) Mars: a = 1,52 AE, ε = 0,093 h) Neptun: a = 29,80 AE, ε = 0,0086 a A' F' e M e a a a a a b F A B' B AUFGABEN L kompakt S. 119 Sonne anderer Brennpunkt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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