105 5.1 Die Ellipse 5.04 Gib eine Gleichung der Ellipse in 1. Hauptlage an und ermittle die Koordinaten der Scheitel sowie der Brennpunkte der Ellipse! a) a = 5, b = 2 c) a = 4, b = � _ 3 e) a = 6, b = 4 g) a = 10, b = 6 b) a = 9, e = 6 d) a = � _ 20, e = 4 f) b = 8, e = 6 h) b = 5, e = 15 5.05 Ermittle eine Gleichung der Ellipse in 1. Hauptlage! a) F = (4 1 0), a = 5 c) F = (2 1 0), b = 4 e) F = (1 1 0), a = � _ 8 b) F = ( � __ 2 1 0), a = � _ 11 d) A = ( � _ 7 1 0), e = � _ 3 f) B = (0 1 2), e = 3 5.06 Von einer Ellipse in 1. Hauptlage kennt man den Brennpunkt F und einen Punkt P auf der Ellipse. Ermittle eine Gleichung der Ellipse und die Koordinaten der Scheitel! a) F = (5 1 0), P = (6 1 2) c) F = (6 1 0),P = (–8 1 2) e) F = (3 1 0) , P = (6 1 � __ 40 ) b) F = (4 1 0), P = (4 1 6) d) F = (6 1 0), P = (4 1 � __ 21 ) f) F = (3 1 0), P = (3 1 3,2) 5.07 Stelle eine Gleichung der Ellipse in 1. Hauptlage auf und berechne die unbekannte Koordinate des Punktes P auf der Ellipse! a) a = 8, b = 4, P = (2 1 p2) mit p2 > 0 d) a=12,e=8� _ 2,P=(9 1 p2) mit p2 > 0 b) a = 15, b = 5, P = (9 1 p2) mit p2 < 0 e) b = 6, e = 6, P = (8 1 p2) mit p2 > 0 c) a = 4, e = 2, P = (p1 1 3) mit p1 > 0 f) b = 3, e = 6, P = (5 1 p2) mit p2 < 0 Kreis als Spezialfall einer Ellipse L Wir betrachten eine Ellipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2. Ist a = b, ergibt sich aus der Formel e 2 = b 2 – a 2 die Gleichung e = 0 und somit fallen die beiden Brennpunkte F und F’ im Mittelpunkt M der Ellipse zusammen. Setzen wir a = b = r, geht die Gleichung der Ellipse über in r 2 x 2 + r 2 y 2 = r 2 · r 2. Die Division durch r 2 liefert: x 2 + y 2 = r 2. Dies ist eine Gleichung eines Kreises mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M = (0 1 0). Merke Ein Kreis mit dem Radius r ist eine spezielle Ellipse mit a = b = r, wobei die beiden Brennpunkte im Mittelpunkt des Kreises zusammenfallen. Ermittlung der Halbachsenlängen aus der Gleichung einer Ellipse L 5.08 Gegeben ist die Ellipse ell: 9x 2 + 25y 2 = 100. Ermittle die Halbachsenlängen a und b, die Haupt- und Nebenscheitel sowie die Brennpunkte F und F’ der Ellipse! LÖSUNG Da 9 · 25 ≠ 100 ist, dürfen wir nicht einfach annehmen, dass b 2 = 9 und a2 = 25 ist. Wir dividieren beide Seiten der Ellipsengleichung durch 100 und erhalten: 9 x 2 _ 100 + 25 y2 _ 100 = 1 bzw. x2 _ 100 _ 9 + y2 _ 4 = 1 Dieser Gleichung entnimmt man: a2 = 100 _ 9 und b 2 = 4. Also ist a = 10 _ 3 und b = 2. Weiters gilt: e2 = a2 – b2 = 100 _ 9 – 4 = 64 _ 9 , also ist e = 8 _ 3 . Damit ist: A = ( 10 _ 3 | 0), A’ = (– 10 _ 3 | 0), B = (0 1 2), B’ = (0 1 –2),F=( 8 _ 3 | 0), F’ = (– 8 _ 3 | 0) AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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