106 5 ELLIPSE; HYPERBEL UND PARABEL 5.09 Ermittle die Halbachsenlängen a und b sowie die Brennweite der Ellipse ell! a) ell: 2 x2 + 5 y2 = 20 d) ell: 3 x2 + 7 y2 = 84 g) ell: 9 x2 + 25 y2 = 900 b) ell: 16 x2 + 25 y2 = 400 e) ell: 4 x2 + 9 y2 = 324 h) ell: 2 x2 + 3 y2 = 60 c) ell: 4 x2 + 9 y2 = 144 f) ell: x2 + 5 y2 = 25 i) ell: 3 x2 + 4 y2 = 36 Ellipse durch zwei vorgegebene Punkte L 5.10 Ermittle eine Gleichung der Ellipse ell, die durch die Punkte P = (6 1 4) und Q = (8 1 3) geht! LÖSUNG e ll: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 P * ell: 36 b2 + 16 a2 = a2 b2 Q * ell: 64 b2 + 9 a2 = a2 b2 } Das Lösen dieses Gleichungssystems nach a 2 und b 2 liefert: a 2 = 100, b 2 = 25 ell: 25x 2 + 100y 2 = 2 500 bzw. ell: x 2 + 4 y 2 = 100 5.11 Ermittle eine Gleichung der Ellipse in 1. Hauptlage, die durch P und Q geht! a) P = (2 1 2),Q = (–4 1 1) c) P = (– 3 1 –1), Q = (–1 1 – 2) e) P = (6 1 2), Q = (3 1 – 4) b) P = ( � _ 6 1 3), Q = (4 1 – 2) d) P = (5 1 0), Q = (0 1 – 2) f) P = (– 3 1 2), Q = (4 1 1,5) 5.12 Eine Ellipse in 1. Hauptlage geht durch die Punkte P und Q. Welche der Punkte R, S und T liegen auf der Ellipse? a) P = (4 1 4), Q = (8 1 –2),R = (2 1 � _ 19 ),S=(–6 1 � _ 11 ), T = (7 1 � _ 8 ) b) P = ( � _ 21 1 � _ 21 ),Q=(–9 1 –1), R = (–7 1 3), S = (6 1 4), T = (3 1 – 5) c) P = (2 1 8), Q = (7 1 7), R = (11 1 5), S = (12 1 4), T = (13 1 3) 5.13 Von einer Ellipse in 1. Hauptlage kennt man die Punkte P und Q. Stelle eine Gleichung der Ellipse auf und berechne jenen Punkt der Ellipse, der im 1. Quadranten liegt und dessen 1. Koordinate das Dreifache seiner 2. Koordinate ist! a) P = (1 1 5), Q = (11 1 – 1) b) P = (– 2 1 –10), Q = (–8 1 8) c) P = (3 1 7), Q = (21 1 1) Schnitt von Ellipse und Gerade L 5.14 Ermittle die Schnittpunkte der Geraden g: X = (8 1 0) + t · (– 4 1 3) mit der Ellipse ell: 9 x2 + 16 y2 = 360! LÖSUNG Falls es einen Schnittpunkt X = (x 1 y) gibt, liegt dieser auf g und auf ell. Wegen X * g gibt es ein t * R, sodass: (x 1 y) = (8 1 0) + t · (– 4 1 3)=(8–4t 1 3 t) Wegen X * ell muss gelten: 9 · (8 – 4 t)2 + 16 · (3 t)2 = 360 Vereinfachen dieser Gleichung liefert: 4 t2 – 8 t + 3 = 0 (Rechne nach!) Daraus ergibt sich: t = 3 _ 2 = t = 1 _ 2 Setzt man t = 3 _ 2 bzw. t = 1 _ 2 in die Gleichung (x 1 y)=(8–4t 1 3 t) ein, erhält man (x 1 y) = (2 1 4,5) bzw. (x 1 y) = (6 1 1,5). Somit lauten die Schnittpunkte: S 1 = (2 1 4,5) und S 2 = (6 1 1,5) AUFGABEN L Ó Lernapplet 9c9p8v AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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