107 5.1 Die Ellipse 5.15 Ermittle die Schnittpunkte der Geraden g: x + 4 y = 14 mit der Ellipse ell: 3x 2 + 8 y 2 = 140! LÖSUNG Für einen Schnittpunkt X = (x 1 y) muss gelten: { x +4y =14 3 x2 + 8 y2 = 140 A us der ersten Gleichung erhält man: x=14–4y Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt: 3 · (14 – 4 y)2 + 8 y2 = 140 Vereinfachen dieser Gleichung liefert: y2 – 6 y + 8 = 0 (Rechne nach!) Daraus ergibt sich: y = 4 = y = 2 Einsetzen in die erste Gleichung: Für y = 4 erhält man x = – 2, für y = 2 erhält man x = 6. Somit lauten die Schnittpunkte: S1 = (– 2 1 4) und S2 = (6 1 2) Mit Technologieeinsatz lassen sich solche Schnittpunktaufgaben ebenso lösen. 5.16 Ermittle die Schnittpunkte der Geraden g und der Ellipse ell! a) g:X=(–2 1 0) + t · (2 1 – 1), ell: x2 + 4 y2 = 100 b) g:X=(–6 1 5) + t · (3 1 1), ell: 2 x2 + 3 y2 = 210 c) g: X = (1 1 – 4) + t · (2 1 1), ell: x2 + 5 y2 = 54 d) g: X = t · (1 1 1), ell: 3 x2 + 4 y2 = 112 e) g: X = (0 1 4) + t · (3 1 – 1), ell: x2 + 3 y2 = 84 f) g: X = (9 1 4) + t · (2 1 3), ell: 3 x2 + 5 y2 = 152 5.17 Ermittle die Schnittpunkte der Geraden g und der Ellipse ell! a) g:2x+y=10, ell: 4 x2 + 9 y2 = 340 d) g: 3x + 2y =18, ell: 3x2 + 4 y2 = 108 b) g:x+y=–9, ell: x2 + 5 y2 = 105 e) g:x+2y=1, ell: x2 + 4 y2 = 25 c) g: 3x + 4y = –12, ell: 9x2 + 16 y2 = 3 600 f) g: 3x – 2y =12, ell: 3x2 + 4 y2 = 48 5.18 Die Gerade g schneidet die Ellipse ell in zwei Punkten. Ermittle den Abstand dieser Punkte! a) g: 3x – 2y =12, ell: 3x2 + 4 y2 = 336 b) g: x + 3y = 21, ell: 2x2 + 3 y2 = 210 5.19 Die erste Mediane schneidet die Ellipse ell in zwei Punkten. Ermittle den Abstand dieser Punkte! a) ell: 3 x2 + 5 y2 = 512 b) ell: x2 + 2 y2 = 243 5.20 Zeige, dass die Ellipse ell: 4x 2 + 9 y 2 = 144 und die Gerade g: 2 x + 5 y = 25 keinen Schnittpunkt besitzen! 5.21 Für welche a * R hat die Gerade g mit der Ellipse ell zwei Punkte, genau einen Punkt bzw. keinen Punkt gemeinsam? Falls g mit ell genau einen Punkt gemeinsam hat, gib diesen an! a) g:x–ay=17, ell: x2 + 4 y2 = 17 b) g: –2x + ay = 20, ell: 4x2 + 25 y2 = 200 c) g:x+9y=10, ell: x2 + 9 y2 = a 5.22 Ermittle die gegenseitige Lage der Ellipse ell und der Geraden g! a) ell: x2 + 12 y2 =16, g:x+2y=4 d) ell: x2 + 3 y2 =16, g:x+3y=8 b) ell: 2 x2 + 5 y2 =13, g:4x+5y=13 e) ell: 4 x2 + 5 y2 =20,g:10x–y=–50 c) ell: 2 x2 + 3 y2 = 7, g: x + y = 10 f) ell: 4 x2 + 9 y2 =36,g:2x+3y=6 kompakt S. 119 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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