108 5 ELLIPSE; HYPERBEL UND PARABEL Tangente in einem Punkt T einer Ellipse L Definition Eine Gerade t, die mit einer Ellipse nur einen Punkt T gemeinsam hat, bezeichnet man als Tangente an die Ellipse im Punkt T. Satz (Spaltform der Tangentengleichung) Eine Gleichung der Tangente in einem Punkt T = (t 1 1 t 2) der Ellipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 lautet: b 2 t 1 x + a 2 t 2 y = a 2 b 2 Merke Man erhält die Spaltform der Tangentengleichung, indem man in der Ellipsengleichung die Quadrate x 2 und y 2 folgendermaßen „aufspaltet“: ell: b 2 · x 2 + a 2 · y 2 = a 2 b 2 t: b 2 · ⏞ t 1 · x + a 2 · ⏞ t 2 · y = a 2 b 2 Ein Beweis dieser Spaltform findet sich im Anhang auf Seite 252. 5.23 Gegeben ist die Ellipse ell: 2x 2 + 3 y 2 = 77. Gib eine Gleichung der Tangente im Ellipsenpunkt T = (5 1 t 2) mit t 2 > 0 an! LÖSUNG Aus der Ellipsengleichung folgt y = ± � _ 77 – 2x 2 _ 3 und somit t 2 = ± � _ 77 – 2 · 5 2 _ 3 = ±3. Wegen t 2 > 0 ist T = (5 1 3). Eine Gleichung der Tangente an die Ellipse in T lautet: t: 2 · 5 · x + 3 · 3 · y = 77 t: 10 x + 9 y = 77 Eine Tangentengleichung lässt sich auch mit Technologieeinsatz ermitteln. 5.24 Gib Gleichungen der Tangenten in den Punkten T = (t 1 1 t 2) und T’ = (– t 1 1 – t 2) der Ellipse ell an! a) ell: x 2 + 5 y 2 = 29, T = (3 1 t 2) mit t 2 > 0 b) ell: 2x 2 + 3 y 2 = 75, T = (t 1 1 – 1) mit t 1 > 0 c) ell: 4x 2 + 25y 2 = 200, T = (–5 1 t 2) mit t 2 > 0 d) ell: x 2 + 9 y 2 = 10, T = (1 1 t 2) mit t 2 > 0 e) ell: 3x 2 + 5 y 2 = 192, T = (t 1 1 – 6) mit t 1 < 0 5.25 Ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks, das die Tangente im Ellipsenpunkt T mit den positiven Koordinatenachsen einschließt! a) ell: x 2 + 3 y 2 = 84, T = (6 1 4) b) ell: x 2 + 4 y 2 = 360, T = (18 1 3) 5.26 Die Tangente im Punkt P der Ellipse ell schneidet die beiden Ellipsentangenten, die durch die Hauptscheitel A und A’ gehen, in den Punkten S und S’. Berechne S und S’ und zeige, dass S, S’ und die Brennpunkte F und F’ der Ellipse auf einem Kreis liegen! a) ell: 3 x2 + 4 y2 = 48, P = (2 1 3) b) ell: x2 + 2 y2 = 144, P = (– 4 1 8) y x T t kompakt S. 119 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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