109 5.2 Die Hyperbel 5.2 Die Hyperbel Definition der Hyperbel L Eine Hyperbel ist ähnlich definiert wie eine Ellipse, nur betrachtet man anstelle der Summe der Abstände ‾FX und ‾ F’Xderen Differenz. Eine Hyperbel besteht aus zwei Ästen. • Für alle Punkte X auf dem linken Ast ist ‾FX – ‾ F’Xkonstant (= 2 a < ‾ FF’ ). • Für alle Punkte X auf dem rechten Ast ist ‾ F’X – ‾FXkonstant (= 2 a < ‾ FF’ ). Für jeden Punkt X auf einem der beiden Äste ist | ‾FX – ‾ F’X | konstant (=2a<‾ FF’ ). y x F' F X X Definition Eine Hyperbel hyp ist die Menge aller Punkte einer Ebene, für die der Unterschied (Betrag der Differenz) der Abstände von zwei gegebenen Punkten F und F’ konstant (= 2 a < ‾ FF’) ist. hyp = {X * R 2‡ | ‾FX – ‾F’X | = 2 a} Konstruktion einer Hyperbel mit Zirkel und Lineal L Eine Hyperbel hyp = {X * ℝ 2 ‡ | ‾FX – ‾ F’X | = 2 a} kann man so konstruieren: • Zeichne die Punkte F und F’! • Zeichne eine Hilfsstrecke UV der Länge 2 a! • Wähle auf der Verlängerung dieser Strecke einen Punkt T (nicht zu nahe an V)! Man erhält zwei Strecken VT und UT mit den Längen d und 2a + d. • Schlage diese beiden Längen jeweils von F und von F’ aus mit dem Zirkel ab! Man erhält vier Schnittpunkte X, X’, Y, Y’. Für jeden dieser Schnittpunkte ist der Betrag der Differenz der Abstände von F und F’ gleich | (2a+d)–d | = 2 a. X, X’, Y und Y’ liegen also auf hyp. • Konstruiere für andere Lagen des Teilungspunktes T analog weitere Hyperbelpunkte! Bezeichnungen bei einer Hyperbel L Wir bezeichnen den Mittelpunkt der Strecke FF’ mit M und setzen ‾MF = ‾ MF’= e. Die Punkte auf der Geraden FF’, die von M den Abstand a haben, bezeichnen wir mit A und A’. Die Punkte auf der Normalen zu FF’ durch M, die sowohl von A als auch von A’ den Abstand e haben, bezeichnen wir mit B und B’. Schließlich setzen wir ‾MB = ‾ MB’ = b. Die Punkte A und A’ liegen auf der Hyperbel, denn es gilt: | ‾FA – ‾ F’A | = | (e – a) – (e + a) | = | – 2 a | = 2 a | ‾ FA’ – ‾ F’A’ | = | (e + a) – (e – a) | = | 2 a | = 2 a Die Punkte B und B’ liegen nicht auf der Hyperbel, denn es gilt: | ‾FB – ‾ F’B | =0≠2aund| ‾ FB’ – ‾ F’B’ | =0≠2a Ó Applet 9cn5zu V T X Y X' Y' F' A' M A F d 2a + d U d 2a 2a + d a a e e F' F X x y v u B b b B' A' M A e Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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