110 5 ELLIPSE; HYPERBEL UND PARABEL Folgende Namen sind üblich: F und F’ …… Brennpunkte Strecke AA’ …… Hauptachse M …… Mittelpunkt Strecke BB’ …… Nebenachse A und A’ …… Hauptscheitel ‾AA ’ = 2 a …… Hauptachsenlänge B und B’ …… Nebenscheitel ‾BB ’ = 2 b …… Nebenachsenlänge ‾MA = ‾MA ’ = a und ‾MB = ‾MB ’ = b …… Halbachsenlängen ‾MF = ‾MF ’ = e …… Brennweite oder lineare Exzentrizität BEMERKUNG O bwohl die Punkte B und B’ nicht auf der Hyperbel liegen, bezeichnet man sie in Analogie zur Ellipse als Nebenscheitel der Hyperbel. Das achsenparallele Rechteck durch A, A’, B und B’ nennt man Achsenrechteck der Hyperbel, die Diagonalgeraden dieses Rechtecks heißen Asymptoten der Hyperbel. Aus der letzten Abbildung erkennt man: Satz Für eine Hyperbel mit den Halbachsenlängen a und b und der Brennweite e gilt: e 2 = a 2 + b 2 BEACHTE Im Gegensatz zur Ellipse muss bei einer Hyperbel nicht unbedingt b ª a gelten. Gleichung einer Hyperbel L Wie bei Ellipsen bezeichnet man eine Hyperbel als Hyperbel in 1. Hauptlage (2. Hauptlage), wenn die Brennpunkte F und F’ auf der 1. Achse (2. Achse) liegen. BEACHTE Wir behandeln im Folgenden ausschließlich Hyperbeln in 1. Hauptlage. In der folgenden Abbildung ist eine Hyperbel in 1. Hauptlage dargestellt. a e F' F B y x X b B' A' A M A = (a 1 0) A’ = (–a 1 0) B = (0 1 b) B’ = (0 1 – b) F = (e 1 0) F’ = (–e 1 0) Analog zur Ellipse kann man eine Gleichung für eine solche Hyperbel herleiten: Satz (Gleichung einer Hyperbel in 1. Hauptlage) Für eine Hyperbel hyp in 1. Hauptlage mit den Halbachsenlängen a und b gilt: (x 1 y) * hyp É b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 É x 2 _ a 2 – y 2 _ b 2 = 1 Eine solche Hyperbel kann als Punktmenge so dargestellt werden: Hyperbel in ℝ 2 in 1. Hauptlage = {(x 1 y) * ℝ 2 ‡ b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2} = {(x 1 y) * ℝ 2 | x 2 _ a 2 – y 2 _ b 2 = 1} Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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