112 5 ELLIPSE; HYPERBEL UND PARABEL BEWEIS Wir zeigen dies für den im 1. Quadranten liegenden Teil der Hyperbel. Aus Symmetriegründen gilt die Behauptung dann auch in den anderen Quadranten. Es sei X = (x 1 y) ein Punkt der Hyperbel hyp im 1. Quadranten und ‾X = (x 1 ‾y ) der zu X gehörige Punkt auf der Asymptote u (siehe die Abbildung). Wegen X * hyp gilt b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 bzw. y = b _ a · � _x 2 – a 2 und wegen ‾X * u gilt ‾y = b _ a · x. Daraus folgt: ‾y–y= b _ a · (x – � _x 2 – a 2 ) = b _ a · (x – � _x 2 · (1 – a 2 _ x 2 ) ) = = b _ a · (x – x · � _ 1 – a 2 _ x 2 ) Mit wachsendem x nähert sich a 2 _ x 2 unbegrenzt der Zahl 0, ohne jemals gleich 0 zu werden. Damit nähert sich der letzte Term in Klammern und somit auch der Abstand _ y– y unbegrenzt der Zahl 0, ohne jemals gleich 0 zu werden. 5.34 Gib Gleichungen der Asymptoten der folgenden Hyperbel an! a) 9 x2 – 25 y2 = 900 b) 2 x2 – 8 y2 = 1 c) 3 x2 – 6 y2 = 1 d) x2 – y2 = 25 5.35 Von einer Hyperbel in 1. Hauptlage kennt man eine Gleichung einer Asymptote und eine Halbachsenlänge. Ermittle eine Gleichung der Hyperbel! a) 4x–3y=0,a=2 b) 2x+y=0,a=4 c) 3x+2y=0,b=6 d) x – y = 0, b = 4 Schnitt von Hyperbel und Gerade L Bei der Berechnung von Schnittpunkten geht man analog zur Ellipse vor. 5.36 Berechne die Schnittpunkte der Hyperbel hyp und der Geraden g! a) hyp: 8x 2 – 5 y 2 = 108, g:2x–y=6 b) hyp: 5x 2 – 2 y 2 = 27, g:5x+4y=–3 c) hyp: 4x 2 – 3 y 2 = 88, g = PQ mit P = (– 8 1 –4),Q = (10 1 8) d) hyp: 2x 2 – 3 y 2 = 45 , g = PQ mit P = (3 1 – 3), Q = (– 9 1 5) 5.37 Die Gerade g schneidet die Hyperbel hyp in zwei Punkten P und Q und die Asymptoten der Hyperbel in zwei Punkten S1 und S2 . Zeige, dass ‾PS 1 = ‾QS 2 ist! a) hyp: 4 x2 – y2 =192, g:2x+3y=8 c) hyp: x2 – 4 y2 = 33, g:3x–5y=11 b) hyp: 9 x2 – y2 =135, g:2x–y=5 d) hyp: x2 – y2 = 63, g:2x+5y=21 5.38 Für welche a * R hat die Gerade g mit der Hyperbel hyp zwei Punkte, genau einen Punkt bzw. keinen Punkt gemeinsam? Falls g mit hyp genau einen Punkt gemeinsam hat, gib diesen Punkt an! a) g: ax + 2y =12, hyp: 3 x2 – 4 y2 = 72 c) g: ax –7y = 43, hyp: 2 x2 – 7 y2 = 43 b) g:10x – ay = 2, hyp: 5 x2 – 2 y2 = 2 d) g:ax+3y=2, hyp: x2 – 3 y2 = 2 y y x X X b v u a AUFGABEN L kompakt S. 119 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==