113 5.2 Die Hyperbel Tangente in einem Punkt T einer Hyperbel L Definition Eine Gerade t, die mit einer Hyperbel nur den Punkt T gemeinsam hat und nicht parallel zu einer Asymptote ist, bezeichnet man als Tangente an die Hyperbel im Punkt T. Analog zur Ellipse kann man beweisen: Satz (Spaltform der Tangentengleichung) Eine Gleichung der Tangente im Punkt T = (t 1 1 t 2) der Hyperbel b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 lautet: b 2 t 1 x – a 2 t 2 y = a 2 b 2 Merke Man erhält die Spaltform der Tangentengleichung, indem man in der Hyperbelgleichung die Quadrate x 2 und y 2 folgendermaßen „aufspaltet“: hyp: b 2 · x 2 – a 2 · y 2 = a 2 b 2 t: b 2 · ⏞ t 1 · x – a 2 · ⏞ t 2 · x = a 2 b 2 5.39 Gib eine Gleichung der Tangente t im Punkt T der Hyperbel hyp an! a) hyp: x2 – 3 y2 = 6, T = (3 1 t 2) mit t2 > 0 d) hyp: 2 x 2 – 3 y2 = 45, T = (t 1 1 3) mit t1 < 0 b) hyp: 5 x2 – 2 y2 = 18, T = (6 1 t 2) mit t2 < 0 e) hyp: 3 x 2 – 4 y2 = 176, T = (t 1 1 2) mit t1 > 0 c) hyp: 9 x2 – 4 y2 = 128, T = (– 4 1 t 2) mit t2 < 0 f) hyp: 4 x 2 – 9 y2 = 36, T = (t 1 1 0) mit t1 > 0 5.40 Gib Gleichungen der Tangenten der Hyperbel hyp: 9x 2 – 16y 2 = 144 in den Hauptscheiteln an! 5.41 Eine Hyperbel in 1. Hauptlage geht durch die Punkte P und Q. Die Tangente in P schneidet die Asymptoten in den Punkten P 1 und P 2 , die Tangente in Q in den Punkten Q 1 und Q 2 . 1) Zeige, dass P 1 , P 2 , Q 1 und Q 2 Eckpunkte eines Trapezes sind! 2) Berechne den Flächeninhalt dieses Trapezes! a) P = (3 1 – 2), Q = (4,5 1 7) b) P = (– 7 1 1), Q = (8 1 4) c) P = (5 1 3), Q = (7 1 – 15) 5.42 Welche Beziehung muss zwischen a, b, k und d bestehen, damit die Gerade g: y = k · x + d Tangente der Hyperbel hyp: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2 ist? 5.43 Zeige, dass die Tangente im Hyperbelpunkt P eine Winkelsymmetrale der Geraden PF und PF’ ist! a) hyp: 3 x2 – 2 y2 = 30, P = (4 1 3) b) hyp: 4 x2 – y2 = 80, P = (6 1 – 8) 5.44 Die Tangente t im Punkt P der Hyperbel hyp schneidet die 1. Achse im Punkt T1 und die 2. Achse in einem Punkt T2 . Die Normale n auf t durch den Punkt P schneidet die 1. Achse im Punkt N1 und die 2. Achse im Punkt N2 . Zeige: 1) Die Punkte P, T2 , N2 und die Brennpunkte F und F’ von hyp liegen auf einem Kreis. 2) P teilt die Strecke N1N2 im Verhältnis b 2 : a2. a) hyp: x2 – 2 y2 = 14, P = (4 1 1) b) hyp: 3 x2 – 4 y2 = 156, P = (8 1 3) c) hyp: x2 – y2 = 14, P = (4 1 2) t T AUFGABEN L kompakt S. 119 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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