115 5.3 Die Parabel Gleichung einer Parabel L Wir betrachten zuerst eine Parabel in 1. Hauptlage. Aus der nebenstehenden Abbildung erkennt man: F = ( p _ 2 | 0 ) Ein Punkt X = (x 1 y)liegt genau dann auf der Parabel, wenn gilt: ‾FX = ‾ X® Wegen → FX = (x – p _ 2 | y ) und ‾Xl=x+ p _ 2 ist dies äquivalent zu: � _________ (x – p _ 2 ) 2 + y2 =x+ p _ 2 Da beide Seiten dieser Gleichung positiv sind, erhält man durch Quadrieren eine äquivalente Gleichung: (x – p _ 2 ) 2 + y2 = (x + p _ 2 ) 2 É x2 –px+ p2 _ 4 + y 2 = x2 +px+ p2 _ 4 É y 2 = 2 p x Eine Parabel in 2. Hauptlage geht aus einer Parabel in 1. Hauptlage durch eine Spiegelung an der 1. Mediane hervor, dh. in der Gleichung y2 = 2 p xwerden x und y vertauscht: x 2 = 2 p y Insgesamt haben wir bewiesen: Satz Für eine Parabel par mit dem Parameter pgilt: 1. Hauptlage: (x 1 y) * par É y 2 = 2 p x 2. Hauptlage: (x 1 y) * par É x 2 = 2 p y Eine Parabel kann als Punktmenge so dargestellt werden: Parabel in R 2 in 1. Hauptlage = {(x 1 y) * R 2 1 y 2 = 2 p x} Parabel in R 2 in 2. Hauptlage = {(x1 y) * R 2 1 x 2 = 2 p y} 5.47 Von einer Parabel in 1. Hauptlage kennt man den Parameter p. Stelle eine Gleichung der Parabel auf und gib den Scheitel sowie zwei weitere Punkte auf der Parabel an! a) p = 3 b) p = 4 c) p = 0,5 d) p = 0,25 e) p = 10 f) p = 0,2 5.48 Eine Parabel in 1. Hauptlage geht durch den Punkt P. Ermittle eine Gleichung der Parabel und gib den Brennpunkt an! a) P = (2 1 – 5) b) P = (1 1 4) c) P = (3 1 4) d) P = (1 1 – 2) 5.49 Gib eine Gleichung der Parabel in 1. Hauptlage mit folgender Leitlinie ® an! a) ®:x=–4 b) ®: x + 3 = 0 c) ®:x=–8 d) ®:x=–4,5 5.50 Gib den Brennpunkt der Parabel in 1. Hauptlage mit der folgenden Gleichung an: a) y 2 = 10 x b) y 2 = x c) y 2 – 3x = 0 d) 2 y2 –5x=0 5.51 Bestimme den Parameter p und den Brennpunkt der Parabel in 2. Hauptlage mit folgender Gleichung! a) x 2 = 8 y b) y = x2 _ 16 c) y = 4 _ 25 x 2 d) x 2 –5y=0 p 2 p 2 ® F y x S X AUFGABEN L Ó Lernapplet 9d64cb Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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