118 5 ELLIPSE; HYPERBEL UND PARABEL 5.4 Kegelschnitte Ebene Schnitte eines Doppelkegels L In diesem Abschnitt wird erläutert, warum man Ellipse, Hyperbel und Parabel als Kegelschnitte bezeichnet. Sei a eine Gerade im Raum und S ein Punkt auf a. Alle Geraden, die durch den Punkt S gehen und mit der Geraden a einen Winkel vom Maß α einschließen, bilden eine unbegrenzte Fläche, die man als Doppelkegel bezeichnet. Die Gerade a heißt Achse dieses Doppelkegels. Die Geraden, aus denen der Doppelkegel besteht, heißen Erzeugende bzw. Mantellinien des Doppelkegels. Der Punkt S heißt Spitze des Doppelkegels. Schneidet man einen solchen Doppelkegel mit einer Ebene E, die nicht durch die Spitze S geht, erhält man je nach Lage der Ebene verschiedene Schnittkurven, die in den folgenden Abbildungen dargestellt sind. E E E Abb. 5.1 a Abb. 5.1 b Abb. 5.1 c Man kann beweisen: • Die Schnittkurve in Abb. 5.1 a ist eine Ellipse. (Falls die Ebene normal zur Achse ist, erhält man als Sonderfall einen Kreis.) • Die Schnittkurve in Abb. 5.1 b ist eine Parabel. (In diesem Fall ist die Ebene parallel zu einer Erzeugenden des Doppelkegels.) • Die Schnittkurve in Abb. 5.1 c ist eine Hyperbel. Die Scheitelgleichung der Kegelschnitte L Man kann zeigen: Ellipse, Hyperbel und Parabel kann man durch eine einheitliche Gleichung beschreiben, wenn man den Scheitel wie unten abgebildet in den Ursprung legt: Satz (Scheitelgleichung der Kegelschnitte) Die Gleichung y 2 = 2px + (ε 2 – 1) · x 2 (mit p * R+, ε * R 0 + ) stellt • für ε < 1 eine Ellipse, • für ε = 1 eine Parabel, • für ε > 1 eine Hyperbel dar. ε ist die numerische Exzentrizität des Kegelschnitts. Für die Ellipse ist ε = e _ a < 1, für die Hyperbel ist ε = e _ a > 1. Für ε = 1 ergibt sich y 2 = 2 p x, also eine Parabelgleichung. a S α α α Ó Applet 9di5gc y x ε > 1 Hyperbel ε = 1 Parabel ε < 1 Ellipse Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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