124 KURVEN 6 6.1 Kurven in der Ebene Gleichungen und Parameterdarstellungen von Kurven in der Ebene L Unter einer Kurve in der Ebene verstehen wir eine (meist gekrümmte) Linie in der Ebene, die im Prinzip ohne Unterbrechung gezeichnet werden kann. Viele Kurven lassen sich durch Gleichungen in x und y beschreiben, zB Ellipsen, Hyperbeläste oder Parabeln. Manche Kurven sind Funktionsgraphen oder lassen sich aus Funktionsgraphen zusammensetzen. ZB kann die Ellipse in Abb. 6.1 b aus dem roten und dem blauen Funktionsgraph zusammengesetzt werden. Bei komplizierteren Kurven wie etwa der in Abb. 6.1 c wird das aber schnell sehr umständlich. –6–4–20 2 4 6 x y 2 –2 4 –4 x2 + 4y2 = 64 –6–4–20 2 4 6 x y 2 –2 4 –4 f1 (x) = · 1 2 64 – x 2 f2 (x) = – · 1 2 64 – x 2 0 –1 1 x y 1 –1 k: (x2 – 1)2 = y2 (3 + 2y) Abb. 6.1 a Abb. 6.1 b Abb. 6.1 c Man kann Kurven in der Ebene aber auch durch Parameterdarstellungen beschreiben. Wir kennen bereits die Parameterdarstellung einer Geraden durch den Punkt P = (p 1 1 p 2) mit dem Richtungsvektor →g = (g 1 1 g 2): X = P + t · → g bzw. { x = p 1 + t · g 1 y = p 2 + t · g 2 mit t * ℝ Die Koordinaten x und y des Punktes X hängen beide vom Parameter t ab. Man schreibt daher genauer: X(t)=P+t· → g bzw. { x(t) = p 1 + t · g 1 y(t) = p 2 + t · g 2 mit t * ℝ Dabei nehmen wir in Kauf, dass die Symbole x und y je nach Schreibweise Zahlen oder Funktionen bezeichnen können. kompakt S. 131 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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