125 6.1 Kurven in der Ebene Die Funktionen t ¦ x (t) und t ¦ y (t) sind bei Geraden lineare Funktionen. Es spricht aber nichts dagegen, auch nichtlineare Funktionen in t zuzulassen. Dabei liegen die Punkte X (t) im Allgemeinen auf einer „Kurve“, die keine Gerade sein muss. Allerdings verlangt man von einer Kurve, dass die Funktionen t ¦ x (t) und t ¦ y (t) sogenannte „stetige Funktionen“ sind. Eine genauere Definition des Begriffs „stetige Funktion“ werden wir erst im Kapitel 8 angeben. Vorläufig reicht die Vorstellung aus, dass solche Funktionen keine Sprünge machen. Definition Es sei I ein Intervall. Falls die Funktionen t ¦ x (t) und t ¦ y (t) stetig sind, bezeichnet man die Punktmenge k = {X (t) * ℝ 2 1 t * I} = {(x (t) 1 y (t)) * ℝ 2 1 t * I} als Kurve in ℝ 2. Die Gleichung X (t) = (x (t) 1 y (t)) bezeichnet man als Parameterdarstellung der Kurve k. Durch die Parameterdarstellung von k wird jedem Parameterwert t * I genau ein Punkt X (t) der Kurve k in ℝ 2 zugeordnet. Man kann sich unter t die Zeit vorstellen. Durchläuft t das Intervall I = [a; b], so durchläuft der Punkt X (t) die Kurve vom Anfangspunkt A = X (a) bis zum Endpunkt B = X (b). Falls I = (– •; b], I = [a; •) bzw. I = ℝ ist, hat die Kurve keinen Anfangs- bzw. Endpunkt. Es kann vorkommen, dass verschiedenen Parameterwerten derselbe Punkt auf der Kurve zugeordnet wird. In solchen Punkten schneidet sich die Kurve selbst. BEISPIEL: Gegeben ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt O und dem Radius r. Der Punkt X (t) durchlaufe den Kreis einmal im Gegenuhrzeigersinn. Wir nehmen als Parameter das Bogenmaß t des zu X (t) gehörigen Drehwinkels (siehe die Abbildung). Damit erhalten wir folgende Parameterdarstellung des Kreises: X (t) = (r · cos (t) 1 r · sin (t)) mit t * [0; 2 π) Der Kreis k kann als Punktmenge so dargestellt werden: k = {X * ℝ 2 1 X = (r · cos (t) 1 r · sin (t)) ? t * [0; 2 π)} = = {(x 1 y) * ℝ 2 1 x = r · cos (t) ? y = r · sin (t) ? t * [0; 2 π)} 6.01 Jede der folgenden Gleichungen beschreibt eine Kurve in der Ebene. Stelle die Kurve mit Technologieeinsatz dar! Untersuche, ob die Kurve der Graph einer reellen Funktion x ¦ f (x) ist bzw. ob sie zumindest aus den Graphen zweier reeller Funktionen x ¦ f 1 (x) und x ¦ f 2 (x) zusammengesetzt werden kann! a) x (x 2 + y 2) – 8y2 = 0 b) 9 x 2 – x 3 – 16y2 = 0 c) (x 2 – 9) (x – 3) 2 + (y 2 – 9) 2 = 0 Ó Applet 9e698m 0 x y X (t) B = X (b) A = X (a) b a I t x y 0 X(t) = sin(t) cos(t) t r 2 r · cos (t) r · sin (t) 3 AUFGABEN L kompakt S. 131 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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