126 6 KURVEN 6.02 Die folgende Punktmenge ist der Graph einer reellen Funktion f. Gib die Definitionsmenge und eine Funktionsgleichung von f an! HINWEIS zua):Esgiltx=2tundy=t 3 – 2. Aus der ersten Gleichung ergibt sich t = x _ 2 . Einsetzen in die zweite Gleichung liefert die Funktionsgleichung y = x 3 _ 8 – 2. a) {X * R2 1 X = (2 t 1 t3 – 2) ? t * R} d) {X * R2 1 X=(2t+1 1 t2 + 1) ? t * R} b) {X * R2 1 X = (t 1 t2 + 1) ? t * R} e) {X * R2 1 X = (t – 5 1 � _ t ) ? t * R 0 + } c) {X * R2 1 X=(4t–1 1 2 t + 5) ? t * R} f) {X * R2 | X = ( t2 + 4 _ 2 | t) ? t * R 0 +} 6.03 Gib eine Gleichung des Kreises an, der folgende Parameterdarstellung hat! a) X (t) = (3 · cos (t) 1 3 · sin (t)) mit t * [0; 2 π) b) X (t) = ( � __ 10 · cos (t) | � __ 10 · sin (t)) mit t * [0; 2 π) 6.04 Zeige, dass die Ellipse mit der Gleichung b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 durch die Parameterdarstellung X (t) = (a · cos (t) 1 b · sin (t)) mit t * [0; 2 π) beschrieben werden kann! 6.05 Zeige, dass die sogenannte Astroide x 2 _ 3 + y 2 _ 3 = a 2 _ 3 (mit a * R+ ) durch die Parameterdarstellung X (t) = (a · cos3 (t) 1 a · sin3 (t)) mit t * [0; 2 π) beschrieben werden kann! 6.06 Gib eine Gleichung der ebenen Kurve an, die folgendermaßen beschrieben werden kann: a) {X (t) * ℝ 2 1 X (t) = (2t2 1 t) ? t * ℝ} d) {X (t) * ℝ 2 1 X (t) = (4 · cos (t) 1 2 · sin (t)) ? t * ℝ} b) {X (t) * ℝ 2 1 X (t) = (t 2 1 t 3) ? t * ℝ} e) {X (t) * ℝ 2 1 X (t) = (sin (t) 1 cos 2 (t)) ? t * ℝ} c) {X (t) * ℝ 2 1 X (t) = (t 2 1 t 2) ? t * ℝ} f) {X (t) * ℝ 2 1 X (t) = (co s 2 (t) 1 sin 2 (t)) ? t * ℝ} 6.07 Kurven mit der Parameterdarstellung X (t) = (r · sin (a t) · cos (b t) 1 r · sin (a t) · sin (b t)) mit t * [0; 2 π) und r * R+ sowie a, b * Z+ heißen Rosenkurven oder Rhodoneen. a = 4, b = 1 a = 7, b = 2 a = 11, b = 6 a) Betrachte mit Technologieeinsatz die Rosenkurven mit r = 4 und den in der folgenden Tabelle angegebenen Kombinationen der Werte a und b. Trage jeweils die beobachtete Anzahl n der Rosenblätter ein! a 246369481251015 b 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 n b) Stelle eine Vermutung auf, wie sich das Verhältnis a : b auf die Blätterzahl n auswirkt! c) Zeige durch Umformen der obigen Parameterdarstellung, dass eine Rosenkurve mit a = b stets ein Kreis mit dem Mittelpunkt M = (0 | r _ 2 ) und dem Radius r _ 2 ist! Ó Applet 9e8wv3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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