129 6.1 Kurven in der Ebene Polardarstellung von Kurven in der Ebene L Man kann jeden Punkt X einer Kurve k in ℝ 2, die nicht durch O geht, durch den Polarabstand r und den Polarwinkel φ von X festlegen. Dazu genügt es, r als Funktion von φ anzugeben, also r: φ ¦ r (φ). Dadurch wird jedem φ in einem vorgegebenen Intervall genau ein Punkt X = [r (φ) 1 φ] auf der Kurve zugeordnet. Eine solche Darstellung bezeichnet man als Polardarstellung der Kurve k. 6.12 Ein Gedankenexperiment: Eine Scheibe dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω im Gegenuhrzeigersinn. Eine kleine Raupe befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 im Mittelpunkt M der Scheibe und kriecht mit der konstanten Geschwindigkeit v radial nach außen. Auf welcher Kurve bewegt sich die Raupe für einen Beobachter, der von oben auf die Scheibe blickt? LÖSUNG Da sich die Scheibe mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω dreht, gilt für das Bogenmaß φ des Drehwinkels zum Zeitpunkt t: (1) φ = ω · t Da die Raupe mit der konstanten Geschwindigkeit v nach außen kriecht, gilt für ihre Entfernung vom Mittelpunkt M zum Zeitpunkt t: (2) r = v · t Aus (1) und (2) folgt: r = v · t = v · φ _ ω = v _ ω · φ Somit erhalten wir folgende Polardarstellung der gesuchten Kurve: r (φ) = v _ ω · φ Diese Kurve bezeichnet man als Archimedische Spirale. Sie ist nebenstehend für v _ ω = 2 und φ * [0; 6 π] abgebildet. 6.13 Zeichne mit Technologieeinsatz Archimedische Spiralen mit verschiedenen selbst gewählten Werten für v und ω! Beschreibe, wie sich die Form der Spirale ändert, wenn 1) v (bei konstantem ω), 2) ω (bei konstantem v) wächst! 6.14 Eine Kurve mit der Polardarstellung r (φ) = c · e a φ (mit c, a * ℝ +) heißt logarithmische Spirale. Sie ist in der nebenstehenden Abbildung für c = 1,1 und a = 0,08 dargestellt. Zeichne mit Technologieeinsatz logarithmische Spiralen mit verschiedenen, selbst gewählten Werten für c und a! Beschreibe, wie sich die Form der Spirale ändert, wenn 1) c (bei konstantem a), 2) a (bei konstantem c) wächst! 6.15 Wähle verschiedene, streng monoton steigende Funktionen r: ℝ 0 + ¥ ℝ 1 φ ¦ r (φ) und stelle mit Technologieeinsatz fest, ob die zugehörigen Kurven eine Gemeinsamkeit aufweisen! 6.16 Von einer Kurve kennt man die folgende Polardarstellung. Variiere die Werte der Parameter und stelle die jeweilige Kurve mit Technologieeinsatz dar! a) Kardioide (Herzkurve): r (φ) = 2 a · (1 + cos (φ)) c) Nephroide: r (φ) = a + 2 · a · sin ( φ _ 2 ) b) Cartesisches Blatt: r (φ) = 3 a · sin φ · cos φ _ sin3 φ + cos3 φ d) Rosenkurve: r (φ) = c · sin ( a _ b · φ) kompakt S. 131 x y X k φ r 0 r φ x y AUFGABEN L Ó Applet 9fh5z3 x y Ó Applet 9fm38c Ó Applet 9fp4pe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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