130 6 KURVEN 6.2 Kurven im Raum Parameterdarstellungen von Kurven im Raum L Kurven im Raum kann man auf analoge Weise durch eine Parameterdarstellung angeben wie Kurven in der Ebene. Definition Es sei I ein Intervall. Falls die Funktionen t ¦ x (t), t ¦ y (t) und t ¦ z (t) stetig sind, bezeichnet man die Punktmenge k = {X (t) * ℝ 31 t * I} = {(x (t), y (t), z (t)) * ℝ 3 1 t * I} als Kurve in ℝ 3. Die Gleichung X (t) = (x (t) 1 y (t) 1 z (t)) bezeichnet man als Parameterdarstellung der Kurve k. Durch diese Parameterdarstellung wird jedem Parameterwert t * I genau ein Punkt X (t) der Kurve k zugeordnet. Durchläuft t das Intervall I, dann durchläuft der Punkt X (t) die Kurve k. BEISPIEL: Wir betrachten die in der nebenstehenden Abbildung dargestellte Schraubenlinie mit dem „Radius“ r und der „Ganghöhe“ h. Für einen Punkt X (t) = (x (t) 1 y (t) 1 z (t)) auf der Schraubenlinie gilt: x (t) = r · cos (t), y (t) = r · sin (t), z (t) = c · t Dabei ist c so zu bestimmen, dass z (2 π) = c · 2 π = h ist, also c = h _ 2 π . Damit erhält man folgende Parameterdarstellung der Schraubenlinie: X (t) = (r · cos (t) | r · sin (t) | h _ 2 π · t) mit t * ℝ Die Schraubenlinie S kann man als Punktmenge so darstellen: S = {X (t) * ℝ 3 | X = (r · cos (t) | r · sin (t) | h _ 2 π · t) ? t * ℝ} = = {(x (t) 1 y (t) 1 z (t)) * ℝ 3 1 x (t) = r · cos (t) ? y (t) = r · sin (t) ? z (t) = h _ 2 π · t ? t * ℝ} Beachte, dass sich die Schraubenlinie unter der x y-Ebene fortsetzt! 6.17 Stelle die folgende Raumkurve mit Technologieeinsatz grafisch dar und beschreibe ihre Form! a) X (t) = (t 1 2 t 1 3 t) mit t * ℝ e) X (t) = 3 · (cos (t) 1 3 · sin (t) 1 t) mit t * [– 4 π; 4 π] b) X (t) = (t 1 t 1 t 2) mit t * ℝ f) X (t) = ( t _ 3 · cos (t) | t _ 3 · sin (t) | t _ 3 ) mit t * [0; 4 π] c) X (t) = (t 1 t 21 0) mit t * ℝ g) X (t) = (2 + cos (t) 1 sin (t) 1 0) mit t * [0; 2 π] d) X (t) = (t 1 0 1 � _ t ) mit t * ℝ 0 + h) X (t) = (4 · cos (t) 1 1 1 4 · sin (t)) mit t * [0; 2 π] 6.18 Gib an, in welcher der drei Koordinatenebenen des Raumes der folgende Kreis liegt! a) X (t) = (cos (t) 1 sin (t) 1 0) mit t * [0; 2 π) b) X (t) = (0 1 sin (t) 1 cos (t)) mit t * [0; 2 π) kompakt S. 131 h t r X y x z Ó Applet 9fr2em AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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