133 KOMPETENZCHECK 6.24 Knotenparabel Die abgebildete Kurve k ist Teil einer so genannten Knotenparabel (parabola nodata). Sie besitzt die Parameterdarstellung: X(t) = (t 2 | t _ 4 · (4 – t 2)) mit t * [– 3; 3] a) 1) Gib die Parameterwerte an, die zu den Punkten A, B, C, D, E und F gehören! 2) Gib die kartesischen Koordinaten des Anfangs- und Endpunkts der Kurve k an! b) 1) Zeige: Die Kurve k kann durch die Gleichung y 2 = x _ 16 · (4 – x) 2 für 0 ª x ª 9 beschrieben werden. 2) Zerlege die Kurve k in zwei Funktionsgraphen und gib Termdarstellungen der zugehörigen Funktionen an! c) Man kann zeigen: Ist X (t) = (x (t) 1 y (t)) eine Parameterdarstellung der Knotenparabel, dann ist der aus den Ableitungen bestehende Vektor → t = (x (t) 1 y (t)) ein Tangentenvektor im Punkt X (t). 1) Gib eine Formel für → t an! 2) Ermittle die Tangentenvektoren der Kurve k im Kreuzungspunkt B der Kurve und zeichne die Tangenten in die Abbildung ein! 6.25 Kardioide Die Abbildung zeigt eine spezielle Kardioide (Herzkurve) mit der Parameterdarstellung X (t) = (4 · (1 – cos (t)) · cos (t) 1 4 · (1 – cos (t)) · sin (t)) für 0 ª t < 2 π. a) 1) Berechne für diese Kardioide die Parameterwerte der Punkte auf den Koordinatenachsen! 2) Gib die kartesischen Koordinaten dieser Punkte an! b) 1) Zeige, dass für den Abstand r des Punktes X (t) vom Ursprung O = (0 1 0) gilt: r = 4 · (1 – cos (t)) 2) Berechne die kartesischen Koordinaten des Punktes auf der Kardioide, der von O den größten Abstand hat! c) 1) Zeige, dass die Kardioide durch die Gleichung (x 2 + y 2) 2 + 8 x · (x 2 + y 2) – 16y2 = 0 beschrieben werden kann. Setze dazu in der Gleichung r = 4 · (1 – cos (t)) für r und cos (t) ein: r = � _x 2 + y 2 und cos (t) = x _ r = x _ � x 2 + y 2 2) Allgemein besitzt eine Kardioide die folgende Parameterdarstellung: X (t) = (2 a · (1 – cos (t)) · cos (t) 1 2 a · (1 – cos (t)) · sin (t)) für a * ℝ + und 0 ª t < 2 π Beschreibe mithilfe von Technologie, wie sich die Kardioide ändert, wenn a wächst! Aufgaben vom Typ 2 L x y E D C B F A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 –3 –2 –1 0 x x r t y y 1 –8 –6 –4 –2 1 2 3 4 5 –4 –2 0 X(t) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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