142 7 ERWEITERUNG DER DIFFERENTIALRECHNUNG ERWEITERUNG DER DIFFERENTIALRECHNUNG GRUNDKOMPETENZEN Charakteristische Eigenschaften […; [e x]’ = e x] kennen und im Kontext deuten können. Wissen, dass gilt: [sin (x)]’ = cos (x); [cos (x)]’ = – sin (x). Den Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben können. Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für [k · f (x)]’ und [f (k · x)]’. Kettenregel kennen und anwenden können. FA-R 5.4 FA-R 6.6 AN-R 1.3 AN-R 2.1 AN-L 2.2 7 7.1 Ableitungen weiterer Funktionen Ableitung der Quadratwurzelfunktion R Satz (Ableitungsregel für die Quadratwurzelfunktion) f (x) = � _ x w f’(x) = 1 _ 2 � _ x BEWEIS f(z) – f(x) _ z – x = � _ z – � _ x _ z – x = � _ z – � _ x ___ ( � _ z ) 2 – ( � _ x ) 2 = � _ z – � _ x ___ ( � _ z – � _ x) · (� _ z + � _ x ) = 1 _ � _ z + � _ x f’ (x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) _ z – x = lim z ¥ x 1 _ � _ z + � _ x = 1 _ 2 · � _ x 7.01 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 8x2 – 2 · � _ x . Ermittle f’ (x)! LÖSUNG f’ (x) = 16 x – 2 · 1 _ 2 · � _ x =16x–1 _ � _ x 7.02 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 4 · � _ x . Ermittle f’ (x)! LÖSUNG f (x) = 4 · � _ x = 4 · x 1 _ 2 w f’ (x) = 4 · 1 _ 2 x – 1 _ 2 = 2 x – 1 _ 2 = 2 _ � _ x 7.03 Ermittle f’ (x)! a) f (x) = 10 · � _ x b) f(x) = –� _ x c) f(x)=x+x 1 _ 2 d) f(x)=2x–3·x 1 _ 2 Ableitung von f (k · x) R Satz (Ableitungsregel für f (k · x)) g (x) = f (k · x) w g’ (x) = f’ (k · x) · k (k * ℝ*) AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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