143 7.1 Ableitungen weiterer Funktionen BEWEIS g(z) – g(x) _ z – x = f (k · z) – f (k · x) _ z – x = f (k · z) – f (k · x) _ k · z – k · x · k · z – k · x _ z – x = f (k · z) – f (k · x) _ k · z – k · x · k · (z – x) _ z – x = = f (k · z) – f (k · x) _ k · z – k · x · k Da k · z genau dann gegen k · x strebt, wenn z gegen x strebt, folgt: g’ (x) = lim z ¥ x g(z) – g(x) _ z – x = lim k · z ¥ k · x f (k · z) – f (k · x) _ k · z – k · x · lim z ¥ x k = f’ (k · x) · k 7.04 Ermittle f’ (x)! a) f (x) = � _ 2 x b) f (x) = – 4 · � _ 6 x LÖSUNG a) f’ (x) = 1 _ 2 · � _ 2 x ·2= 1 _ � 2 x = � _ 2 _ 2 · � _ x b) f’ (x) = – 4 · 1 _ 2 · � _ 6 x ·6=–12 _ � 6 x = – 2 · � _ 6 _ � _ x 7.05 Ermittle f’ (x)! a) f (x) = � _ 4 x b) f (x) = 6 · � _ 3 x c) f(x)=2x–� _ 2 x d) f (x) = x 2 – 2 _ 5 · � _ 5 x 7.06 Untersuche die Funktion f: ℝ 0 + ¥ ℝ 1 x ¦ � _ xin Hinblick auf Nullstellen, Monotonie, Krümmung, globale und lokale Extremstellen sowie Wendestellen! Ableitung von Exponentialfunktionen R Satz (Ableitungsregeln für Exponentialfunktionen) (1) f (x) = e x w f’ (x) = e x (2) f (x) = a x w f’ (x) = a x · ln (a) (wobei a * ℝ +, a ≠ 1) BEWEISSKIZZE (1) f(x + h) – f(x) _ h = ex + h – ex _ h = ex · eh – ex _ h = e x · e h – 1 _ h Man kann zeigen (vgl. die nebenstehende Tabelle): lim h ¥ 0 e h – 1 _ h = 1 Damit erhalten wir: f’ (x) = lim h ¥ 0 f(x + h) – f(x) _ h = e x · 1 = ex (2) f (x) = a x = (e ln (a)) x = e ln (a) · x Nach der Ableitungsregel für f (k · x) ergibt sich: f’ (x) = e ln (a) · x ·ln(a) = (e ln (a)) x · ln (a) = a x · ln (a) 7.07 Ermittle f’ (x)! a) f (x) = x 2 – 2 · e x b) f (x) = e – x c) f (x) = e 2 x LÖSUNG a) f’(x) = 2x – 2ex = 2 · (x – e x) b) f’ (x) = e – x · (– 1) = – e – x c) f’ (x) = e 2 x · 2 = 2 · e 2 x 7.08 Ermittle f’ (x)! a) f (x) = – 3 · 2 x b) f (x) = 5 · 2 – x LÖSUNG a) f’ (x) = – 3 · 2 x · ln 2 ≈ – 2,079 · 2 x b) f’ (x) = 5 · 2 – x · ln 2 · (– 1) ≈ – 3,466 · 2 – x AUFGABEN R h e h – 1 _ h 0,1 1,051 709 181… 0,01 1,005 016 708… 0,001 1,000 500 167… 0,0001 1,000 050 000… Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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