144 7 ERWEITERUNG DER DIFFERENTIALRECHNUNG 7.09 Ermittle f’ (x)! a) f (x) = – 2 · e 2 x b) f (x) = e – 5 x c) f (x) = 3 · e 4 x d) f (x) = – 2 · e – 2 x 7.10 Ermittle f’ (x)! a) f (x) = 2 – x b) f(x) = –2 – 2 x c) f(x) = x + 10 – x d) f (x) = 2 · 0,5 – x 7.11 Ermittle f’ (x)! a) f(x)=x+e x b) f (x) = 5 · e x c) f (x) = 3 · 3 x d) f (x) = x 1 _ 2 + 10 x 7.12 Der Flächeninhalt A einer Bakterienkultur beträgt 100 cm2 und wächst stündlich um 2 %. Berechne die Wachstumsgeschwindigkeit des Flächeninhalts nach 5 Stunden! 7.13 Das radioaktive Element Radon 222 zerfällt nach dem Gesetz N (t) ≈ N 0 · 0,834 058 161 t (t in Tagen). Gib eine Formel für die momentane Änderungsrate der Anzahl der noch unzerfallenen Atome a) nach 2 Tagen, b) nach 4 Tagen an! 7.14 Ermittle für die Funktion f näherungsweise jene Stelle x * ℝ, für die f’ (x) = 1 ist! a) f (x) = e x b) f (x) = 2 · e x c) f (x) = e 4 x d) f (x) = 10 x 7.15 Berechne f’ (1) näherungsweise! a) f (x) = 3 · e x b) f (x) = 2,5 · 3 x c) f (x) = x 7 + e 2 x d) f(x)=x+2 x 7.16 Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s mit s (t) = 10 · e – t für 0 ª t ª 10 (t in Sekunden, s (t) in Meter). 1) Gib eine Formel für die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t an! 2) Gib eine Formel für die Beschleunigung des Körpers zum Zeitpunkt t an! 3) Zu welchem Zeitpunkt beträgt die Geschwindigkeit des Körpers – 0,1 m/s? 4) Zu welchem Zeitpunkt beträgt die Beschleunigung des Körpers 0,1 m/s2? 7.17 Ermittle den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f! Untersuche f in Hinblick auf Nullstellen, Monotonie, Krümmung, lokale Extremstellen und Wendestellen! a) f (x) = e x b) f (x) = e – x 7.18 Ermittle den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f! Untersuche f in Hinblick auf Nullstellen, Monotonie, Krümmung, lokale Extremstellen und Wendestellen! a) f (x) = 2 x b) f (x) = 2 – x c) f (x) = e 2 x d) f (x) = e – 2 x 7.19 Untersuche die Funktion f: ℝ ¥ ℝ 1 x ¦ e x – e – x in Hinblick auf Nullstellen, Monotonie, Krümmung, lokale Extremstellen und Wendestellen! 7.20 Gegeben ist die Funktion f: x ¦ e x + e – x. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Der größtmögliche Definitionsbereich von f ist ℝ 0 + . Der Graph von f besitzt den Tiefpunkt T = (0 1 2). Der Graph von f ist im größtmöglichen Definitionsbereich rechtsgekrümmt. Die Funktion f besitzt keine Wendestelle. Die Steigung des Graphen von f ist an der Stelle 1 kleiner als 2. AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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