145 7.1 Ableitungen weiterer Funktionen Ableitung der Sinus- und Cosinusfunktion R Satz (Ableitungsregeln für die Sinus- und Cosinusfunktion (1) f (x) = sin (x) w f’ (x) = cos (x) (2) f (x) = cos (x) w f’ (x) = – sin (x) BEWEISSKIZZE Wir benutzen das erste Additionstheorem (siehe Mathematik verstehen 6, Seite 100): sin (x + y) = sin (x) · cos (y) + cos (x) · sin (y) cos (x + y) = cos (x) · cos (y) – sin (x) · sin (y) Damit erhalten wir: (1) f(x + h) – f(x) _ h = sin (x + h) – sin (x) ___ h = sin (x) · cos (h) + cos (x) · sin (h) – sin (x) ______ h = = sin (x) · cos (h) – 1 _ h + cos (x) · sin (h) _ h Man kann zeigen (vgl. Tabelle): lim h ¥ 0 cos (h) – 1 _ 1 = 0 und lim h ¥ 0 sin (h) _ 1 = 1 Damit erhalten wir: f’ (x) = lim h ¥ 0 f(x + h) – f(x) _ h = sin (x) · 0 + cos (x) · 1 = cos (x) (2) f(x + h) – f(x) _ h = cos (x + h) – cos (x) ___ h = cos (x) · cos (h) – sin (x) · sin (h) – cos (x) ______ h = = cos (x) · cos (h) – 1 _ h – sin (x) · sin (h) _ h f’ (x) = lim h ¥ 0 f(x + h) – f(x) _ h = cos (x) · 0 – sin (x) · 1 = – sin (x) 7.21 Ermittle f’ (x)! a) f (x) = sin (2 x) b) f (x) = – cos (– x) LÖSUNG a) f’ (x) = cos (2 x) · 2 = 2 · cos (2 x) b) f’(x) = –(– sin (– x)) · (– 1) = – sin (– x) 7.22 Ermittle f’ (x)! a) f (x) = 2 · sin (x) c) f (x) = – 2,5 · sin (4 x) e) f (x) = cos (x) + sin (– x) b) f (x) = 3 · cos (x) d) f (x) = x 2 – cos ( 3 x _ 2 ) f) f (x) = sin (3 x) – cos (3 x) 7.23 Ermittle die Steigung der a) Sinusfunktion, b) Cosinusfunktion an den Stellen π, π _ 2 , π _ 4 und 3 π _ 4 ! 7.24 Die Elongation einer schwingenden Feder zum Zeitpunkt t ist gegeben durch s (t) = sin (t) (t in Sekunden, s (t) in Meter). a) Gib eine Formel für die Geschwindigkeit der Feder zum Zeitpunkt t an und berechne die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 4! b) Gib eine Formel für die Beschleunigung der Feder zum Zeitpunkt t an und berechne die Beschleunigung zum Zeitpunkt 4! 7.25 Untersuche f im Intervall [0; 2 π] in Hinblick auf Nullstellen, Monotonie, Krümmung, lokale Extremstellen und Wendestellen! a) f (x) = sin (x) c) f (x) = 1 – sin (x) e) f(x) = sin( x _ 2 ) b) f (x) = cos (x) d) f (x) = cos (x) + 2 f) f (x) = 2 · cos (3 x) h cos (h) – 1 _ h sin (h) _ h 0,1 – 0,049 958 347… 0,998 334 166… 0,01 – 0,004 999 958… 0,999 983 333… 0,001 – 0,000 500 000… 0,999 999 833… 0,0001 – 0,000 050 010… 0,999 999 998… AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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