146 7 ERWEITERUNG DER DIFFERENTIALRECHNUNG 7.2 Weitere Ableitungsregeln Die Produktregel L Die Funktion f mit f (x) = x · sin x ist von der Form f (x) = u (x) · v (x) mit u (x) = x und v (x) = sin x. Satz (Produktregel) f (x) = u (x) · v (x) w f’ (x) = u’ (x) · v (x) + u (x) · v’ (x) Kurz: f = u · v w f’ = u’v + uv’ Merke Ableitung eines Produkts = e rster Faktor abgeleitet mal zweiter Faktor unverändert + + erster Faktor unverändert mal zweiter Faktor abgeleitet BEWEIS DER REGEL f(z) – f(x) _ z – x = u (z) · v (z) – u (x) · v (x) ____ z – x Wir fügen im Zähler – u (x) v (z) + u (x) v (z) (also 0) als Summanden ein: f(z) – f(x) _ z – x = u (z) · v (z) – u (x) · v (z) + u (x) · v (z) – u (x) · v (x) _______ z – x = [u (z) – u (x)] · v (z) + u (x) · [v (z) – v (x)] ______ z – x = = u(z) – u(x) _ z – x · v (z) + u (x) · v(z) – v(x) _ z – x f’ (x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) _ z – x = u’ (x) · v (x) + u (x) · v’ (x) 7.26 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x · sin (x). Ermittle f’ (x)! LÖSUNG f’ (x) = 1 · sin (x) + x · cos (x) = sin (x) + x · cos (x) 7.27 Ermittle f’ (x)! a) f (x) = x 2 · sin (x) b) f (x) = e x · cos (x) c) f (x) = x 2 · e x d) f (x) = 3 x · 2 x Die Quotientenregel L Die Funktion f mit f (x) = x 2 _ x + 1 (mit x ≠ –1) ist von der Form f (x) = u (x) _ v (x) mit u (x) = x 2 und v (x) = x + 1. Satz (Quotientenregel) f (x) = u (x) _ v (x) w f’(x) = u’ (x) · v (x) – u (x) · v’ (x) ____ [v (x)] 2 Kurz: f = u _ v w f’ = u’v – uv’ _ v 2 BEWEIS f(z) – f(x) _ z – x = u (z) _ v (z) – u (x) _ v (x) _ z – x = u (z) v (x) – v (z) u (x) ___ (z – x) · v (z) · v (x) Wir fügen im Zähler – u (x) v (x) + u (x) v (x) (also 0) als Summanden ein: f(z) – f(x) _ z – x = u (z) v (x) – u (x) v (x) + u (x) v (x) – v (z) u (x) ______ (z – x) v (z) v (x) = [u (z) – u (x)] · v (x) – u (x) · [v (z) – v (x)] ______ (z – x) v (z) v (x) = = 1 _ v (z) v (x) · [ u(z) – u(x) _ z – x · v (x) – u (x) · v(z) – v(x) _ z – x ] f’ (x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) _ z – x = 1 _ v (x) v (x) ·[u’(x)·v(x) – u(x)·v’(x)] = u’ (x) v (x) – u (x) v’ (x) ___ [v (x)]2 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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