147 7.2 Weitere Ableitungsregeln 7.28 Ermittle f’ (x)! a) f (x) = x 2 _ x + 1 b) f(x) = 1 _ x LÖSUNG a) f’ (x) = 2 x · (x + 1) – x 2 · 1 _ (x + 1) 2 = 2 x 2 +2x–x 2 _ (x + 1) 2 = x 2 + 2 x _ (x + 1) 2 b) f’ (x) = 0 · x – 1 · 1 _ x 2 = – 1 _ x 2 Da das Ergebnis aus Aufgabe 7.28 b) öfter vorkommt, halten wir diesen Spezialfall fest: Spezialfall der Quotientenregel f (x) = 1 _ x w f’(x) = – 1 _ x 2 7.29 An welchen Stellen ist die Funktion f definiert? Ermittle die Ableitung von f! a) f(x) = – 1 _ x c) f (x) = x2 _ 2 x – 1 e) f (x) = x – 1 _ x + 1 g) f (x) = 3 x2 + 2 _ x3 – 1 i) f (x) = x2 + x + 1 _ 2 x3 b) f (x) = x – 1 _ x2 d) f (x) = x _ x – 1 f) f(x) = x – 1 _ x2 + 1 h) f (x) = 2 – x2 _ x3 – 1 j) f (x) = x + 1 _ x2 + 1 7.30 Berechne die Steigung der Funktion f an den Stellen 0 und 2! a) f (x) = 1 _ x + 1 b) f(x) = – 1 _ x2 + 1 c) f (x) = 2 x _ x2 + 2 d) f (x) = x + 1 _ x – 1 e) f (x) = x + 2 _ 1 – x f) f (x) = x2 + 3 _ 1 + x 7.31 In welchen Punkten des Graphen von f ist die Tangentensteigung gleich –1 bzw. 0? a) f (x) = x2 + 1 _ x – 1 b) f (x) = x2 + 2 _ x c) f (x) = x + 3 _ 1 + x d) f (x) = x2 _ x + 1 7.32 Ermittle f’ (x) für konstantes k * ℝ*! a) f (x) = k _ x b) f (x) = x _ k c) f (x) = k 2 _ x 2 d) f (x) = x 2 _ k 2 7.33 Ordne jeder der beiden Funktionen f in der linken Tabelle die zugehörige Ableitung aus der rechten Tabelle zu! f (x) = e – x _ x A f’(x) = 1 – x _ x 2 · e x f(x) = –e x _ x B f’(x) = x + 1 _ x 2 · e x C f’(x) = x + 1 _ x 2 · e x D f’(x) = –x + 1 _ x 2 · e x 7.34 Ordne jeder der beiden Funktionen f in der linken Tabelle die zugehörige Ableitung aus der rechten Tabelle zu! f (x) = sin (x) _ x A f’(x) = sin (x) – x · cos (x) _ x 2 f(x) = – cos (x) _ x B f’(x) = – sin (x) + cos (x) _ x 2 C f’(x) = x · cos (x) – sin (x) _ x 2 D f’(x) = x · sin (x) + cos (x) _ x 2 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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