148 7 ERWEITERUNG DER DIFFERENTIALRECHNUNG Extremwertaufgaben 7.35 Zeige: Von allen Rechtecken mit dem Flächeninhalt A hat das Quadrat den kleinsten Umfang. LÖSUNG • Hauptbedingung: u (x, y) = 2 x + 2 y = 2 · (x + y) • Nebenbedingung: A = x · y w y = A _ x • Z ielfunktion: u (x) = 2 · (x + A _ x ) (mit x > 0) • ‾u(x)=x+A _ x (mit x > 0) Da ‾uin (0; •) definiert ist, kommen als globale Minimumstellen von ‾uin (0; •) nur die Nullstellen der Ableitung von ‾uin Frage. ‾u’(x) = 1 – A _ x 2 = 0 É x = � _ A ‾u ”(x)=0–0 · x 2 – A · 2 x _ x 4 = 2 A _ x 3 , ‾u ” ( � __ A ) = 2 A _ A � _ A = 2 _ � _ A > 0 Daraus folgt: x = � _ Aist die einzige lokale und globale Minimumstelle von ‾uin (0; •). • Aus der Nebenbedingung folgt: y = A _ � _ A = � _ A. Somit hat unter allen Rechtecken mit dem Flächeninhalt A das Quadrat mit der Seitenlänge � _ Aden kleinsten Umfang. 7.36 Welches Rechteck mit gegebenem Flächeninhalt A hat die kürzeste Diagonalenlänge? 7.37 Welches rechtwinkelige Dreieck mit dem Flächeninhalt A hat die kürzeste Hypotenuse? 7.38 Welcher Drehzylinder mit dem Volumen V = 1dm3 hat den kleinsten Oberflächeninhalt? 7.39 Der Querschnitt eines Kanals hat die Form eines oben offenen Rechtecks. Der Inhalt der Querschnittsfläche soll 2 m2 betragen. Um den Reibungswiderstand des durchfließenden Wassers möglichst gering zu halten, soll der vom Wasser benetzte Teil des Querschnitts möglichst klein sein. Wie sind die Maße des Querschnitts zu wählen? 7.40 Durch den Punkt P = (2 1 4) soll eine Gerade so gelegt werden, dass das von der Geraden und den beiden positiven Achsen des Koordinatensystems gebildete Dreieck einen möglichst kleinen Flächeninhalt hat. Berechne die Steigung dieser Geraden! Ableitung der Tangensfunktion L Satz (Ableitungsregeln für die Tangensfunktion) f (x) = tan (x) w f’(x) = 1 _ cos 2 (x) =1+tan 2 (x) BEWEIS f (x) = tan (x) = sin (x) _ cos (x) w f’ (x) = cos (x) · cos (x) – sin (x) · (– sin (x)) _____ cos 2 (x) = cos 2 (x) + sin 2 (x) _ cos 2 (x) Diesen Term können wir auf zwei Arten umformen: f’(x) = cos 2 (x) + sin 2 (x) _ cos 2 (x) = 1 _ cos 2 (x) oder f’ (x) = cos 2 (x) + sin 2 (x) _ cos 2 (x) = 1 + sin 2 (x) _ cos 2 (x) =1+tan 2 (x) 7.41 Ermittle die Steigung der Tangensfunktion an den Stellen k · π mit k * ℤ! AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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