150 7 ERWEITERUNG DER DIFFERENTIALRECHNUNG Die Stellen – 2 und 2 in der letzten Aufgabe bezeichnet man als Polstellen der Funktion f. Definition Eine Stelle a heißt Polstelle einer reellen Funktion f, wenn zwei Bedingungen gelten: (1) f ist in einer Umgebung von a definiert, aber nicht an der Stelle a. (2) Nähert sich x von links oder rechts her unbegrenzt der Stelle a, so strebt f (x) gegen • oder – •. An einer Polstelle a kommt der Graph von f der Geraden x = a von beiden Seiten her beliebig nahe, ohne diese jemals zu erreichen. Die Gerade x = a ist eine Asymptote des Graphen von f. 7.43 Ermittle die Polstellen der Funktion f! a) f (x) = 1 _ x 2 b) f (x) = 1 _ x 2 – 1 c) f (x) = 1 _ x 2 + x – 2 7.44 Zeichne den Graphen der Funktion f mit Technologieeinsatz! Untersuche f durch Rechnung in Hinblick auf größtmöglichen Definitionsbereich, Monotonie und lokale Extremstellen! Gib allenfalls vorhandene Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f an! a) f (x) = 1 _ x e) f (x) = 2 x – 1 _ x + 1 i) f (x) = 1 _ x2 – 1 b) f (x) = 1 _ x2 f) f (x) = x + 1 _ 2 x – 4 j) f (x) = x _ x2 + 1 c) f (x) = 1 _ x – 1 g) f (x) = 1 _ x3 k) f (x) = 1 _ x2 – x + 6 d) f (x) = 1 _ x + 1 h) f (x) = 1 _ x2 + 1 l) f (x) = 1 _ (x – 1) 2 7.45 Zeichne den Graphen der Funktion f mit Technologieeinsatz! Untersuche f durch Rechnung in Hinblick auf größtmöglichen Definitionsbereich, Monotonie, lokale Extremstellen und Krümmung! Gib allenfalls vorhandene Hoch-, Tief- und Wendepunkte des Graphen von f an! a) f(x)=x+ 1 _ x d) f (x) = 1 _ x + 1 _ x2 g) f(x)=1– 1 _ x b) f (x) = x 2 + 1 _ x e) f (x) = 1 _ x + 1 _ x 3 h) f (x) = x _ x – 1 c) f (x) = 1 _ x 3 + 1 f) f (x) = 1 _ x 2 + 1 _ x 3 i) f (x) = x _ x + 1 7.46 Der Graph der Funktion f mit f (x) = a x + b _ x2 (mit a, b ≠ 0) hat den Tiefpunkt T = (2 1 9). Ermittle a und b! 7.47 Der Graph der Funktion f mit f (x) = a x + b _ x2 (mit a, b ≠ 0) hat den Wendepunkt W = (–1 1 – 2). Ermittle a und b! 7.48 Der Graph der Funktion f mit f (x) = a – b x _ x2 (mit a, b ≠ 0) hat den Wendepunkt W = (6 | – 1 _ 9 ). Ermittle a und b! 7.49 Der Graph der Funktion f mit f (x) = a x + b _ x (mit a, b > 0) hat einen Tiefpunkt an der Stelle 2. Die Steigung an der Stelle 1 beträgt – 3. Ermittle a und b! 7.50 Zeige, dass die Funktion f weder eine Extremstelle noch eine Wendestelle besitzt (a, b * ℝ +)! a) f (x) = x + a _ b x (mit x ≠ 0) c) f (x) = a x _ x + b (mit x ≠ –b) b) f (x) = a x + 1 _ b x (mit x ≠ 0) d) f (x) = a x _ 1 + b x (mitx≠– 1 _ b ) AUFGABEN L Ó Lernapplet r5626x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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