151 7.4 Ableitung von Verkettungen 7.4 Ableitung von Verkettungen Die Kettenregel L Die Ableitungsregel für f (k · x) lässt sich verallgemeinern. Betrachten wir zum Beispiel die Funktion f mit f (x) = � _ x 2 + 1. Diese Funktion ist von folgender Form: f(x) = u(v (x)) mit u (x) = � _ v (x)und v (x) = x 2 + 1 Wie kann man eine Ableitungsregel für eine solche Funktion erhalten? Ein naheliegender Gedanke zur Herleitung einer solchen Regel ist, den Differenzenquotienten so zu zerlegen, wie wir es bei der Herleitung der Ableitungsregel für f (k · x) gemacht haben: f(z) – f(x) _ z – x = u (v (z)) – u (v (x)) ___ z – x = u (v (z)) – u (v (x)) ___ v(z) – v(x) · v(z) – v(x) _ z – x f’ (x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) _ z – x = u’ (v (x)) · v’ (x) Leider ist dieses Vorgehen kein vollgültiger Beweis. Es funktioniert nämlich nur, wenn der Nenner v (z) – v (x) ≠ 0 ist. Dies muss aber nicht immer der Fall sein. Die vermutete Regel ist aber trotzdem richtig und kann korrekt bewiesen werden. Wir führen den Beweis jedoch nicht durch. Satz (Kettenregel) f(x) = u(v (x)) w f’(x) = u’(v (x)) · v’ (x) Man nennt • u’ (v (x)) die äußere Ableitung von f an der Stelle v (x), • v’ (x) die innere Ableitung von f an der Stelle x. Damit ergibt sich eine einfache Merkhilfe für die Kettenregel: Merke Ableitung einer Verkettung = äußere Ableitung mal innere Ableitung 7.51 Berechne f’ (x)! a) f (x) = � _ x 2 + 1 b) f(x) = sin(2x + π) LÖSUNG a) Es ist f(x) = u(v (x)) mit u (v (x)) = � _ v (x)und v (x) = x2 + 1. f’ (x) = u’ (v (x)) · v’ (x) = 1 __ 2 � ____ x 2 + 1 · 2x= x _ � x 2 + 1 b) Es ist f(x) = u(v (x)) mit u (v (x)) = sin (v (x)) und v(x) = 2x + π. f’ (x) = u’ (v (x)) · v’ (x) = cos (2 x + π) · 2= 2 cos (2 x + π) BEMERKUNG Die Ableitungsregel für f (k · x) ist ein Spezialfall der Kettenregel, denn es gilt: g (x) = f (k · x) w g’(x) = f’(k·x) · k äußere Ableitung innere Ableitung äußere Ableitung innere Ableitung äußere Ableitung innere Ableitung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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