153 7.5 Ableitung von Umkehrfunktionen 7.5 Ableitung von Umkehrfunktionen Umkehrregel und Ableitung von Logarithmusfunktionen L Satz (Umkehrregel) Ist g die Umkehrfunktion der reellen Funktion f, dann gilt: g’(x) = 1 __ f’ (g (x)) BEWEIS Wir setzen y = f (x) und t = f (z) (siehe nebenstehende Abbildung). Dann ist x = g (y) und z = g (t). Die Zahl z nähert sich genau dann unbegrenzt der Zahl x, wenn sich die Zahl t unbegrenzt der Zahl y nähert. Somit gilt: g’ (y) = lim t ¥ y g(t) – g(y) _ t – y = lim z ¥ x z – x _ f(z) – f(x) = lim z ¥ x 1 _ f(z) – f(x) _ z – x = 1 _ f’ (x) = = 1 __ f’ (g (y)) S chreibt man x statt y, ergibt sich: g’ (x) = 1 __ f’ (g (x)) Mit Hilfe der Umkehrregel können wir die Ableitungen von Logarithmusfunktionen ermitteln. Satz (Ableitung einer Logarithmusfunktion) (1) f (x) = ln (x) w f’(x) = 1 _ x (2) f (x) = log a (x) w f’(x) = 1 _ x · ln (a) (a≠1) BEWEIS (1) Die Funktion g mit g (x) = ln (x) ist die Umkehrfunktion der Funktion f mit f (x) = e x. Nach der Umkehrregel ergibt sich: g’ (x) = 1 __ f’ (g (x)) = 1 _ e g (x) = 1 _ e ln (x) = 1 _ x (2) Die Funktion g mit g (x) = log a x ist die Umkehrfunktion der Funktion f mit f (x) = a x. Nach der Umkehrregel ergibt sich: g’ (x) = 1 __ f’ (g (x)) = 1 _ a g (x) · ln (a) = 1 _ a log a (x) · ln (a) = 1 _ x · ln (a) 7.63 Leite die Quadratwurzelregel mit Hilfe der Umkehrregel her! LÖSUNG Die Funktion g mit g (x) = � _ xist die Umkehrfunktion der auf R 0 + definierten Funktion f mit f(x) = x2. Es ist f’ (x) = 2 x. Nach der Umkehrregel ergibt sich: g’ (x) = 1 __ f’ (g (x)) = 1 _ 2 g (x) = 1 _ 2 � _ x 7.64 Berechne f’ (x)! a) f (x) = 2 · ln (x) b) f (x) = ln (2 x) c) f (x) = 3 · ln (x 2) d) f (x) = 5 · (ln x) 2 7.65 Berechne f’ (x)! a) f (x) = log 2 (x) b) f (x) = log 3 (x) c) f (x) = log 2 (x + 3) d) f (x) = log 4 (x 4) 7.66 Ermittle die Steigung der Funktion f an der Stelle x = 15! a) f (x) = 5 · ln (2 x) b) f (x) = 5 · log 10 (2 x) c) f (x) = 5 · log 2 (2 x) x f t y z AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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