155 7.6 Berechnung von Änderungsgeschwindigkeiten 7.6 Berechnung von Änderungsgeschwindigkeiten Differentialquotient als Änderungsgeschwindigkeit L 7.73 In einen drehkegelförmigen Behälter vom Radius 6dm und der Höhe 12 dm fließt Wasser mit der konstanten Zuflussgeschwindigkeit von 50 Liter pro Minute ein. 1) Stelle eine Formel auf, die jedem Zeitpunkt t die Wasserhöhe h (t) im Behälter zuordnet! 2) Wie schnell steigt die Wasserhöhe nach 2 Minuten? 3) Wie schnell steigt die Wasserhöhe, wenn das Wasser gerade 8 dm hoch ist? 4) Wie schnell steigt die Wasserhöhe, wenn das Volumen des Wassers im Behälter gerade 400dm3 beträgt? 5) Wie schnell wächst der Radius des Wasserspiegels nach 2 Minuten? LÖSUNG 1) Aufgrund ähnlicher Dreiecke gilt: h(t):r(t)=12:6=2:1 Daraus folgt: r(t) = 1 _ 2 · h (t) Nach der Volumsformel für einen Kegel gilt: V(t) = r 2 (t) · π · h (t) _ 3 = π _ 3 · r 2 (t) · h (t) = π _ 3 · 1 _ 4 · h 2 (t) · h (t) = π _ 12 · h 3 (t) Wegen der konstanten Zuflussgeschwindigkeit von 50 ®/min gilt V (t) = 50 · t und damit erhalten wir: 50 · t = π _ 12 · h 3 (t) Daraus ergibt sich: h(t) = 3 � _____ 600 _ π · t= ( 600 _ π · t) 1 _ 3 2) h’ (t) = 1 _ 3 · ( 600 _ π · t) – 2 _ 3 · 600 _ π = 200 _ π · ( 600 _ π · t) – 2 _ 3 h’ (2) ≈ 1,21 Nach 2 Minuten steigt die Wasserhöhe ungefähr mit 1,21 dm/min. 3) h (t) = ( 600 _ π · t) 1 _ 3 = 8 w 600 _ π · t = 512 w t = 512 · π _ 600 h’ ( 512 · π _ 600 ) = 200 _ π · ( 600 _ π · 512 · π _ 600 ) – 2 _ 3 ≈ 0,99 Wenn das Wasser gerade 8 dm hoch ist, steigt die Wasserhöhe mit ungefähr 0,99 dm/min. 4) V(t)=50·t=400 w t = 8 h’ (8) = 200 _ π · ( 600 _ π · 8) – 2 _ 3 ≈ 0,48 Wenn das Volumen des Wassers im Behälter gerade 400dm3 beträgt, steigt die Wasserhöhe mit ungefähr 0,48 dm/min. 5) r (t) = 1 _ 2 · h (t) r’ (t) = 1 _ 2 · h’ (t) r’ (2) = 1 _ 2 ·h’(2) = 1 _ 2 · 200 _ π · ( 600 _ π · 2) – 2 _ 3 ≈ 0,60 Nach 2 Minuten wächst der Radius ungefähr mit 0,60dm/min. 12 h (t) 6 r (t) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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