159 KOMPETENZCHECK 7.89 Hyperbelfunktionen Man definiert: • Für alle x * ℝ setzt man: Sinus hyperbolicus von x = sin h (x) = e x – e – x _ 2 • Für alle x * ℝ setzt man: Cosinus hyperbolicus von x = cos h (x) = e x + e – x _ 2 Die Funktionen sin h: ℝ ¥ ℝ und cos h: ℝ ¥ ℝ heißen Hyperbelfunktionen. Ihre Graphen sind in der folgenden Abbildung dargestellt. Diese Funktionen haben zum Teil ähnliche Eigenschaften wie die Funktionen sin: ℝ ¥ ℝ und cos: ℝ ¥ ℝ. a) 1) Zeige, dass für alle x * ℝ gilt: cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1 2) Zeige, dass für alle x * ℝ gilt: cos h 2 (x) – sin h 2 (x) = 1 b) 1) Zeige, dass eine Kurve mit der folgenden Parameterdarstellung ein Kreis ist: X = (x 1 y) = (a · cos (t) 1 a · sin (t)) mit a, b * ℝ + und t * ℝ 2) Zeige, dass eine Kurve mit der folgenden Parameterdarstellung der rechte Ast einer Hyperbel ist (daraus leitet sich der Name „Hyperbelfunktionen“ her): X = (x 1 y) = (a · cos h (t) 1 b · sin h (t)) mit a, b * ℝ + und t * ℝ c) 1) Zeige: sin h ist eine ungerade Funktion und cos h eine gerade Funktion. 2) Ermittle Formeln für sin h’ (x) und cos h’ (x)! d) Die obige Abbildung legt folgende Aussagen nahe. Beweise diese durch Rechnung! 1) Für alle x * ℝ gilt: cos h (x) º 1 2) Für alle x * ℝ gilt: cos h (x) > sin h (x) e) 1) Die obige Abbildung legt auch nahe, dass sich cos h (x) und sin h (x) mit wachsendem x immer weniger unterscheiden. Begründe: lim x ¥ •(cos h (x) – sin h (x)) = 0! 2) Gib an, ab welchem x sich cos h (x) und sin h (x) um weniger als ein Millionstel unterscheiden! Runde auf drei Nachkommastellen! FA-R 1.5 AG-R 2.1 AN-R 2.1 AG-R 1.1 x sinh(x), cosh(x) 1 2 –2 –1 1 2 3 4 5 –4 –3 –2 –1 0 sinh cosh Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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