160 EXAKTIFIZIERUNG DER DIFFERENTIALRECHNUNG 8 8.1 Grenzwertregeln Präzisierung intuitiver Grenzwertberechnungen R Einen Grenzwert wie beispielsweise lim x ¥ 2 (x2 + 3 x) haben wir bisher im Prinzip so berechnet: lim x ¥ 2 (x2 + 3 x) = lim x ¥ 2 (x · x) + lim x ¥ 2 (3 · x) = lim x ¥ 2 x · lim x ¥ 2 x + lim x ¥ 2 3 · lim x ¥ 2 x = 2 · 2 + 3 · 2 = 10 Dabei haben wir intuitiv die folgenden Regeln angewendet: Satz (Grenzwertregeln) Es seien f: A ¥ R und g: A ¥ R reelle Funktionen. Falls die Grenzwerte existieren, gilt: (1) lim x ¥ p [f (x) + g (x)] = lim x ¥ p f (x) + lim x ¥ p g (x) (2) lim x ¥ p [f (x) – g (x)] = lim x ¥ p f (x) – lim x ¥ p g (x) (3) lim x ¥ p [f (x) · g (x)] = lim x ¥ p f (x) · lim x ¥ p g (x) (4) lim x ¥ p f (x) _ g (x) = lim x ¥ p f (x) _ lim x ¥ p g (x) (sofern g (x) ≠ 0 in einer Umgebung von p und lim x ¥ p g (x) ≠ 0) Beweise dieser Regeln führen wir nicht durch. Als Spezialfall der Regel (3) ergibt sich: Satz (Grenzwertregel für einen konstanten Faktor c) lim x ¥ p [c · f (x)] = c · lim x ¥ p f (x) BEWEIS Nach der Grenzwertregel (3) gilt: lim x ¥ p [c · f (x)] = lim x ¥ p c · lim x ¥ p f (x) = c · lim x ¥ p f (x) Die Grenzwertregeln (1) und (3) lassen sich auf mehr als zwei Funktionen verallgemeinern: (1’) lim x ¥ p [f1 (x) + f2 (x) + … + fn (x)] = lim x ¥ p f1 (x) + lim x ¥ p f2 (x) + … + lim x ¥ p fn (x) (3’) lim x ¥ p [f1 (x) · f2 (x) · … · fn (x)] = lim x ¥ p f1 (x) · lim x ¥ p f2 (x) · … · lim x ¥ p fn (x) BEISPIEL lim x ¥ 0 [3(x + e x)] = 3 · lim x ¥ 0 (x + ex) = 3 · ( lim x ¥ 0 x + lim x ¥ 0 ex) = 3 · (0 + 1) = 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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