163 8.3 Differenzierbarkeit 8.3 Differenzierbarkeit Existenz der Ableitung R Nebenstehend ist die Funktion f mit f (x) = †x† dargestellt. Die Funktion f ist an der Stelle 0 stetig, denn wenn man sich (von links oder rechts) der Stelle 0 unbegrenzt nähert, dann nähert sich f (x) unbegrenzt der Zahl 0; also ist lim x ¥ p f (x) = 0 = f (0). Wir werden aber im Abschnitt 8.5 zeigen, dass die Ableitung von f an der Stelle 0 nicht existiert (und der Graph im Nullpunkt O daher keine Tangente besitzt). Funktionen, deren Ableitungen existieren, erhalten einen eigenen Namen: Definition (Differenzierbarkeit) Eine reelle Funktion f: A ¥ R heißt (1) an der Stelle p * A differenzierbar, wenn f’ (p) = lim x ¥ p f(x) – f(p) _ x – p existiert. (2) differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle p * A differenzierbar ist. Dass eine Funktion f an einer Stelle p nicht differenzierbar ist, merkt man im Allgemeinen daran, dass der Graph von f an der Stelle p einen Knick hat. Der Graph hat dort keine Tangente. Aus den Herleitungen der entsprechenden Ableitungsregeln folgt: Satz (Differenzierbarkeit elementarer Funktionen) Die folgenden Funktionen sind in ihrem jeweiligen Definitionsbereich differenzierbar: • P otenzfunktionen • E xponentialfunktionen • P olynomfunktionen • L ogarithmusfunktionen • r ationale Funktionen • Winkelfunktionen Zusammenhang von Differenzierbarkeit und Stetigkeit L Satz Ist eine reelle Funktion f: A ¥ R an einer Stelle p * A differenzierbar, dann ist f an der Stelle p stetig. BEWEIS S ei f an der Stelle p * A differenzierbar. Es gilt für alle x * A, wie man durch Kürzen leicht sieht: f (x) = f (p) + f(x) – f(p) _ x – p · (x – p) Daraus folgt nach den Grenzwertregeln: lim x ¥ p f (x) = lim x ¥ p f (p) + lim x ¥ p f(x) – f(p) _ x – p · lim x ¥ p (x–p)=f(p)+f’ (p) · 0 = f (p) Somit ist f an der Stelle p stetig. Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Aus der Stetigkeit folgt nicht unbedingt die Differenzierbarkeit. Zum Beispiel ist die Funktion f mit f (x) = †x† an der Stelle 0 stetig, aber an dieser Stelle nicht differenzierbar. Merke Aus der Differenzierbarkeit folgt die Stetigkeit, aber nicht umgekehrt. 0 1 x –1 1 f f(x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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