165 8.4 Sätze über stetige und differenzierbare Funktionen Sätze über differenzierbare Funktionen L Im Kapitel 3 haben wir verschiedene Sätze der Differentialrechnung für Polynomfunktionen formuliert und auf Polynomfunktionen angewendet. Im Kapitel 7 haben wir dann diese Sätze stillschweigend auch auf andere Funktionen angewendet (rationale Funktionen, Potenzfunktionen mit reellen Exponenten, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Winkelfunktionen). Dieses Vorgehen war zunächst unbegründet. Man kann aber beweisen, dass alle verwendeten Sätze auch unter allgemeineren Voraussetzungen gelten. Man muss nur verlangen, dass die entsprechende Funktion genügend oft differenzierbar ist und alle Ableitungen stetig sind. Da diese Voraussetzungen von allen im Kapitel 7 vorkommenden Funktionen erfüllt werden, ist die Anwendung dieser Sätze nachträglich gerechtfertigt. Wir stellen diese Sätze im Folgenden ohne Beweis zusammen. Satz (Monotoniesatz) Die reelle Funktion f sei differenzierbar im Intervall I. (1) f’(x) > 0 für alle inneren Stellen x * I w f ist streng monoton steigend in I (2) f’(x) < 0 für alle inneren Stellen x * I w f ist streng monoton fallend in I (3) f’(x) º 0 für alle inneren Stellen x * I É f ist monoton steigend in I (4) f’(x) ª 0 für alle inneren Stellen x * I É f ist monoton fallend in I Satz (Krümmungssatz) Die reelle Funktion f sei zweimal differenzierbar im Intervall I. (1) f’’ (x) > 0 für alle inneren Stellen x * I w f ist linksgekrümmt in I (2) f’’ (x) < 0 für alle inneren Stellen x * I w f ist rechtsgekrümmt in I Satz (Notwendige Bedingung für lokale Extremstellen) Die reelle Funktion f sei differenzierbar. Ist p eine lokale Extremstelle von f, dann ist f’(p) = 0. Satz (Hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen) Sei f eine in einem Intervall I definierte, zweimal differenzierbare reelle Funktion mit stetiger zweiter Ableitung und p eine innere Stelle von I. (1) f’(p) = 0 und f’’ (p) < 0 w p ist lokale Maximumstelle von f (2) f’(p) = 0 und f’’ (p) > 0 w p ist lokale Minimumstelle von f Satz (Notwendige Bedingung für Wendestellen) Die reelle Funktion f sei zweimal differenzierbar. p ist Wendestelle von f w f’’ (p) = 0 Satz (Hinreichende Bedingung für Wendestellen) Sei f eine in einem Intervall I definierte, dreimal differenzierbare reelle Funktion mit stetiger dritter Ableitung und p eine innere Stelle von I. f’’ (p) = 0 und f’’’ (p) ≠ 0 w p ist Wendestelle von f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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