167 8.5 Exaktifizierung des Grenzwertbegriffs Im Symbol lim x ¥ p f (x) muss vorausgesetzt werden, dass p eine Häufungsstelle der Definitionsmenge A der Funktion f ist. Da eine Häufungsstelle nicht unbedingt zu A gehören muss, braucht f an der Stelle p nicht unbedingt definiert zu sein. BEISPIEL I st f differenzierbar, dann ist die Differenzenquotientenfunktion d mit d (x) = f(x) – f(p) _ x – p an der Stelle p nicht definiert, trotzdem kann man vom Grenzwert lim x ¥ p d (x) = f’ (p) sprechen. 8.05 Ist p eine Häufungsstelle von A? Wenn nicht, erkläre warum! a) A p c) A p e) A p b) A A p d) A p f) A A p Exaktere Definition des Grenzwerts L Gegeben sind eine reelle Funktion f: A ¥ ℝ und eine Häufungstelle p von A. Die Aussage lim x ¥ p f(x) = q haben wir bisher so gedeutet: f (x) nähert sich unbegrenzt der Zahl q, wenn sich x unbegrenzt der Zahl p nähert. Dies kann man auch so formulieren: Wie klein man auch eine Umgebung U(q) von q wählt, stets lässt sich eine Umgebung U (p) von p finden, sodass gilt: x * U (p) w f (x) * U (q). Dies ist in den folgenden Abbildungen veranschaulicht: 2. A. q 1. A. f p x 0 f (x) U (p) U (q) 2. A. q 1. A. f p x f (x) U (p) U (q) 0 2. A. q 1. A. f p x f (x) U (p) U (q) 0 Dabei sind zwei Umstände zu beachten: • Die Funktion f muss an der Stelle p nicht unbedingt definiert sein. • Man kann sich offensichtlich auf Umgebungen beschränken, die symmetrisch um q bzw. p liegen. Dazu führen wir folgende Begriffe ein: Definition Epsilon-Umgebung von q: U ε(q) = {y * ℝ 1 q – ε < y < q + ε} mit ε > 0 Delta-Umgebung von p: U δ(p) = {x * ℝ 1 p – δ < x < p + δ} mit δ > 0 Punktierte Delta-Umgebung von p: U ̇ δ(p) = U δ (p)\{p} AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==