168 8 EXAKTIFIZIERUNG DER DIFFERENTIALRECHNUNG Damit lässt sich die Definition des Grenzwerts so anschreiben: Definition (Grenzwert einer Funktion) Sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion und p eine Häufungsstelle von A. Es gilt lim x ¥ p f (x) = q, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, sodass für alle x * A gilt: x * U ̇ δ(p) w f (x) * U ε(q) Die Zahl q heißt Grenzwert (Limes) von f an der Stelle p. 8.06 Zeichne zur vorgegebenen Umgebung U ε (q) eine Umgebung U ̇ δ (p) so ein, dass für alle x in der dargestellten Definitionsmenge von f gilt: x * U ̇ δ (p) w f (x) * U ε (q)! a) f(x) x p f Uε (q) 0 b) p f f(x) x Uε (q) 0 c) f(x) x p f Uε (q) 0 Exaktere Grenzwertnachweise L Mithilfe der exakteren Grenzwertdefinition kann man Grenzwerte, die wir bisher nur intuitiv ermittelt haben, besser absichern. Bei einer derartigen Aufgabe geht es nicht darum, einen Grenzwert zu finden, sondern eine vorgegebene Grenzwertbehauptung zu beweisen. Zum Beweis von lim x ¥ p f (x) = q geht man in zwei Schritten vor: 1. Schritt: Man gibt ein beliebiges ε > 0 vor. 2. Schritt: M an zeigt, dass sich ein δ > 0 finden lässt, sodass für alle x * A gilt: x * U ̇ δ (p) w f (x) * U ε (q) 8.07 Gegeben ist die Funktion f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = { 2 x – 2 5,5 für x ≠ 3 für x = 3. Beweise mit Hilfe der obigen Grenzwertdefinition, dass f an der Stelle 3 nicht stetig ist! LÖSUNG W ir zeigen: lim x ¥ 3 f(x) = 4 ≠ f(3). 1. Schritt: Wir geben ein beliebiges ε > 0 vor. 2. Schritt: W ir zeigen: Es gibt ein geeignetes δ > 0. Für alle x ≠ 3 gilt: f (x) * U ε(4) É 4 – ε <f(x)<4+ ε É É 4 – ε <2x–2<4+ ε É É 6 – ε <2x<6+ ε É É 3 – ε _ 2 <x<3+ ε _ 2 É x * U ε _ 2 (3) Wählen wir δ = ε _ 2 , dann folgt daraus für alle x * ℝ: x * U ̇ δ (3) w f (x) * U ε (4). Somit ist lim x ¥ 3 f (x) = 4. f(x) q q + ε q – ε x f p x f (x) Uδ (p) · p – δ p + δ 0 Uε (q) AUFGABEN L f(x) x f 3 3 + δ 3 – δ 4 4 + ε 4 – ε 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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