174 9 ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG Die erste Ableitung einer Kostenfunktion K bezeichnet man als Grenzkostenfunktion von K. Der Name erklärt sich durch den folgenden Satz: Satz Die Grenzkosten K’ (x) geben näherungsweise den Kostenzuwachs bei Steigerung der Produktion um eine Mengeneinheit an, dh. K’(x) ≈ K(x +1) – K(x). BEWEIS Wir gehen von einer Produktionsmenge von x Mengeneinheiten aus. • Grenzkosten K ’ (x) = lim Δ x ¥ 0 K (x + Δ x) – K(x) _ Δ x • Kostenzuwachs bei Produktionssteigerung um 1 ME = K (x + 1) – K (x) • F ür eine lineare Kostenfunktion K mit K (x) = k · x + d gilt: K’ (x) = k = K (x + 1) – K (x) • I st K nichtlinear, so erhält man für eine kleine Änderung Δ x der Produktion: K’ (x) ≈ K (x + Δ x) – K(x) _ Δ x . Für Δ x = 1 ergibt sich: K’ (x) ≈ K (x + 1) – K (x) 9.01 Betrachte die auf der vorigen Seite gezeigten Typen von Kostenfunktionen! a) Skizziere jeweils die Ableitungsfunktionen K’ und K’’ der zugehörigen Kostenfunktion K! b) Nenne wirtschaftliche Gründe für einen progressiven, degressiven bzw. „S-förmigen“ Kostenverlauf! 9.02 Die Grenzkosten K’ der Firma DatTech sind durch K’ (x) = 0,4 · x + 80 gegeben. Derzeit beträgt die tägliche Produktionsmenge 25 ME. Die Firma hat jedoch freie Kapazitäten. Ein Abnehmer bietet einen Zusatzauftrag an und ist bereit, einen Preis von 75 GE/ME zu bezahlen. Soll DatTech den Auftrag annehmen? Vergleiche dazu die Einnahmen und Kosten bei einer täglichen Produktionssteigerung von 25ME auf 26ME! 9.03 Die Kostenfunktion K für die Monatsproduktion eines Unternehmens ist gegeben durch K (x) = x 3 – 12x 2 + 60x +100 für x * [ 0; 12 ]. a) Wie hoch sind die monatlichen Fixkosten? b) Zeige, dass K streng monoton steigend ist! c) Wie hoch ist der durchschnittliche Kostenanstieg pro zusätzlich produzierter Mengeneinheit im Intervall [0; 4] und im Intervall [8; 12]? Vergleiche und erläutere die beiden Ergebnisse! d) Für welche Produktionsmengen steigen die Kosten progressiv? e) Bei welcher Produktionsmenge hat man die geringsten Grenzkosten? f) Welchen Einfluss hätte eine Erhöhung der Fixkosten um 10 % auf die Grenzkosten? 9.04 Rechts ist der Graph einer Kostenfunktion K: x ¦ K (x) dargestellt. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Die Kosten steigen im Intervall [3; 6] überproportional an. Die Kostenkehre liegt bei einer Produktionsmenge von ca. 8 ME. Bei einem Output von 8 ME kostet die Produktion einer ME im Mittel mehr als 150 GE. Die Fixkosten liegen nicht über 300 GE. Die Grenzkostenfunktion ist in [0; 13] streng monoton steigend. AUFGABEN R 400 800 1 200 1 600 2 K 4 6 8 10 12 14 0 K (x) x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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