175 9.1 Anwendungen in der Wirtschaftsmathematik Stückkostenfunktion und Betriebsoptimum R 9.05 In einem Betrieb wurden die Kosten K (x) für die Produktion von x Stück einer Ware näherungsweise mit K (x) = x 3 – 12x2 + 60 x + 100 ermittelt. Aus Kapazitätsgründen muss die tägliche Produktion x im Bereich von 0 bis 10 ME liegen. 1) Stelle die Graphen der Kostenfunktion K und der Grenzkostenfunktion K’ in demselben Koordinatensystem dar! 2) Bei welcher täglichen Produktionsmenge sind die Stückkosten, dh. die Kosten für die Produktion einer Mengeneinheit, am niedrigsten? LÖSUNG 1) Graphen von K und K’: K (x) = x 3 – 12x2 + 60 x + 100 K’ (x) = 3x2 – 24x + 60 Die Graphen von K und K’ sind nebenstehend dargestellt. 2) Ermitteln der Produktionsmenge mit den geringsten Stückkosten: • B ei der täglichen Produktion von x ME erhält man die Stückkosten ‾K(x), indem man die Produktionskosten K (x) durch x dividiert. Es gilt also: ‾K (x) = K (x) _ x = x 2 –12x+60+100 _ x für x * (0; 10] Der Graph von ‾K ist ebenfalls in der Abbildung dargestellt. • Wir suchen jetzt das Minimum der Stückkostenfunktion ‾Kim Intervall (0; 10]. Mögliche Minimumstellen sind die Stellen mit ‾K’ (x) = 0 und die Randstelle x = 10. ‾K ’ (x) = 0 É 2x–12–100 _ x 2 = 0 É x 3 – 6 x 2 – 50 = 0 É x ≈ 7 ‾K (7) ≈ 39,29 < ‾K(10) = 50 • Daraus ergibt sich: Mit den geringsten Stückkosten von ungefähr 39,29 GE/ME arbeitet der Betrieb dann, wenn er täglich ca. 7 ME produziert. Definition Sei K: x ¦ K (x) mit x * A eine Kostenfunktion, wobei A a R 0 + e in Intervall ist. • Die Funktion ‾K mit ‾K(x) = K (x) _ x (x ≠ 0) heißt Stückkostenfunktion zur Kostenfunktion K. • Die Produktionsmenge x opt * A , für die die Stückkostenfunktion ‾Kminimal ist, heißt Betriebsoptimum zur Kostenfunktion K. Die Abbildung in Aufgabe 9.05 lässt vermuten, dass die Graphen von ‾Kund K’ einander an der Stelle x opt schneiden. Dies wird im folgenden Satz bewiesen. Ó Applet 9gh3nu 100 200 300 400 500 2 4 6 8 101214 600 700 0 x xopt K (x) K’ (x) K (x) K’ K K_ Ó Lernapplet 9gz967 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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