176 9 ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG Satz Sei A a R 0 + ein Intervall und K: x ¦ K (x) mit x * A eine differenzierbare Kostenfunktion. Das Betriebsoptimum x opt liege im Inneren von A. Dann gilt: ‾ K (x opt) = K’ (x opt) BEWEIS ‾ K(x) = K (x) _ x w ‾K ’ (x) = K’ (x) · x – K (x) _ x 2 . Wegen xopt im Inneren von A gilt: ‾K ’ (x opt) = 0. Daraus folgt: K’ (x opt) · x opt – K (x opt) = 0 w K’ (x opt) = K (x opt) _ x opt = ‾K (x opt) Merke Im Betriebsoptimum xopt gilt: Stückkosten ‾K (x opt) = Grenzkosten K’ (x opt). Die Stückkosten ‾K (x opt ) im Betriebsoptimum liefern dem Unternehmer eine weitere wichtige Information: Langfristig arbeitet ein Betrieb nur dann ohne Verlust, wenn er die gesamte Produktionsmenge zumindest zu jenem Stückpreis verkaufen kann, der die Stückkosten abdeckt. Die minimalen Stückkosten ‾K (x opt ) geben daher die langfristige Preisuntergrenze der Produktion an. 9.06 (Fortsetzung von 9.05) a) Wie hoch ist die langfristige Preisuntergrenze der Produktion? b) Wie viele ME muss der Betrieb erzeugen und verkaufen, damit er bei einem Verkaufspreis an der langfristigen Preisuntergrenze gerade noch kostendeckend arbeitet? 9.07 Zeige, dass die Kostenfunktion K das angegebene Betriebsoptimum x opt besitzt, und berechne die langfristige Preisuntergrenze der Produktion! a) K (x) = 0,0001 x3 – 0,03 x2 + 100 x + 170 000; x opt = 1 000 b) K(x) = 3x 2 + 50x + 2700; x opt = 30 9.08 Die Kostenfunktion K eines Unternehmens bezogen auf einen Tag ist näherungsweise gegeben durch K (x) = 0,001 · x 3 – 0,2 · x 2 + 180 x + 36 000 (in GE). Zeige, dass der Betrieb täglich 300 ME produzieren muss, um seine Stückkosten zu minimieren! 9.09 Ein Hersteller modelliert den Kostenverlauf seiner Produktion durch eine lineare Funktion K. Die Fixkosten betragen 250 GE. Jede Produktionssteigerung um 5 ME führt zu einem Kostenanstieg von 100 GE. Aus Kapazitätsgründen können maximal 50 ME produziert werden. 1) Gib Termdarstellungen der Kostenfunktion K und der Stückkostenfunktion ‾K an! 2) Zeichne die Graphen von K und ‾K ! 3) Ist eine Produktion mit Stückkosten kleiner als 10 GE/ME möglich? Begründe! 4) Ermittle das Betriebsoptimum und die kleinsten Stückkosten der Produktion! 9.10 Der streng monoton steigende Kostenverlauf einer Produktion kann annähernd als lineare Funktion K: x ¦ K (x) angegeben werden. Aus technischen Gründen können maximal x 0 Mengeneinheiten erzeugt werden. Ermittle das Betriebsoptimum der Produktion! 9.11 Begründe: a) D en Stückkosten ‾K(x) entspricht geometrisch die Steigung des so genannten „Fahrstrahls“ aus dem Ursprung O durch den Punkt P = (x 1 K (x)) auf dem Graphen der Kostenfunktion K. b) Die Tangente an den Graphen der Kostenfunktion K an der Stelle des Betriebsoptimums geht durch den Ursprung. AUFGABEN R K(x) K 0 x x opt P Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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